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Note per Studenti Esercizio - identità di Wald, somma dei lanci di un dado fino al primo sei

Esercizio - identità di Wald, somma dei lanci di un dado fino al primo sei

Teoria: Linearità del valore atteso e variabili indicatriciLa linearità $E[X+Y]=E[X]+E[Y]$ vale sempre, anche senza indipendenza; con le variabili indicatrici ($E[I_A]=P(A)$) trasforma un conteggio in una somma di probabilità. Applicazioni: attesa del primo successo $1/p$, collezionista di figurine $nH_n$, punti fissi di una permutazione (media $1$), record (media $H_n$), inversioni ($n(n-1)/4$), attesa condizionata, identità di Wald $E[S_N]=E[N]E[X]$.Linearità del valore atteso e variabili indicatrici → (somme di un numero aleatorio di termini).

Testo. Si usa un dado equo.

  1. Si lancia il dado una prima volta per ottenere NN (uniforme in {1..6}\{1..6\}), poi si lanciano NN dadi e si somma: valore atteso della somma SS?
  2. Si lancia il dado finché non esce 66 (incluso) e si somma ogni esito: valore atteso della somma SS? Verificare con un ragionamento diretto.
  3. Si somma invece solo ciò che precede il primo 66 (il 66 escluso): S′=X1+⋯+XN−1S'=X_1+\dots+X_{N-1}. L'identità di Wald con E[N−1]=5E[N-1]=5 darebbe 3,5⋅5=17,53{,}5\cdot5=17{,}5. Il valore corretto è diverso: calcolarlo e spiegare perché Wald non si applica.
  4. Verificare con una simulazione.

Soluzione

Wald. Se {N≥i}\{N\ge i\} è indipendente da XiX_i per ogni ii e gli XiX_i hanno media μ\mu, allora E[SN]=μE[N]E[S_N]=\mu E[N] (dimostrazione: SN=∑iXiI{N≥i}S_N=\sum_iX_iI_{\{N\ge i\}}).

1. NN indipendente. I dadi sommati sono indipendenti da NN: E[N]=1+⋯+66=3,5E[N]=\frac{1+\dots+6}6=3{,}5 e μ=3,5\mu=3{,}5. Quindi E[S]=3,5⋅3,5=12,25E[S]=3{,}5\cdot3{,}5=12{,}25.

2. Tempo d'arresto. NN è il numero di lanci fino al primo 66: geometrica di parametro 16\frac16, E[N]=6E[N]=6. L'evento {N≥i}\{N\ge i\} = "i primi i−1i-1 lanci non sono 66" dipende solo da X1..Xi−1X_1..X_{i-1}, quindi è indipendente da XiX_i. Wald si applica: E[S]=6⋅3,5=21E[S]=6\cdot3{,}5=21.

Verifica diretta. Prima del 66 i lanci sono N−1N-1, in media 55, e ciascuno è uniforme in {1,2,3,4,5}\{1,2,3,4,5\} (condizionato a non essere 66) di media 33; poi c'è il 66 finale. E[S]=5⋅3+6=21E[S]=5\cdot3+6=21. Coincide con Wald.

3. Il 66 escluso. Da S=S′+6S=S'+6 segue E[S′]=21−6=15E[S']=21-6=15 (linearità). Wald non vale perché {N−1≥i}\{N-1\ge i\} = "i primi ii lanci non sono 66" dipende da XiX_i: sapere che l'evento è accaduto dice che Xi≠6X_i\ne6, e E[Xi∣Xi≠6]=3≠3,5E[X_i\mid X_i\ne6]=3\ne3{,}5. Se si applica il metodo corretto: E[S′]=∑iE[XiI{N−1≥i}]=∑i≥13⋅P(i primi i lanci non sono 6)=3∑i≥1(56)i=3⋅5=15E[S']=\sum_iE[X_iI_{\{N-1\ge i\}}]=\sum_{i\ge1}3\cdot P(\text{i primi }i\text{ lanci non sono }6)=3\sum_{i\ge1}\big(\tfrac56\big)^i=3\cdot5=15. Il 17,517{,}5 è sbagliato perché moltiplica per la media 3,53{,}5 anziché 33.

4. Simulazione.

python
import random
T = 200000
a = sum(sum(random.randint(1, 6) for _ in range(random.randint(1, 6))) for _ in range(T)) / T
tot2 = tot3 = 0
for _ in range(T):
    s = 0
    while True:
        x = random.randint(1, 6); s += x
        if x == 6: break
    tot2 += s; tot3 += s - 6
print(a, tot2 / T, tot3 / T)    # circa 12.25, 21, 15

Risultato. E[S]=12,25E[S]=12{,}25 in (1), E[S]=21E[S]=21 in (2), E[S′]=15E[S']=15 in (3); Wald vale nei primi due casi e non nel terzo.

Verifica Python: simulazioni 12,2412{,}24, 20,9420{,}94, 15,0415{,}04 (valori esatti 12,25, 21, 1512{,}25,\ 21,\ 15).

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