Distribuzione geometrica

Caso notevole del punto 2 del programma. Prerequisiti: Prove ripetute e modello binomialen prove indipendenti, ciascuna con probabilità di successo p: una sequenza con k successi ha probabilità p^k (1−p)^(n−k), e la probabilità di esattamente k successi è (n su k) p^k (1−p)^(n−k) (modello binomiale); il primo successo alla prova k ha probabilità (1−p)^(k−1) p.Prove ripetute e modello binomiale →, Variabili aleatorie discrete e densità discretaUna variabile aleatoria discreta è una funzione X da Ω in R che assume un insieme finito o numerabile di valori (l'alfabeto); la sua densità discreta p_X(x) = P(X = x) basta a calcolare la probabilità di ogni evento che riguarda X.Variabili aleatorie discrete e densità discreta →. Media e varianza: Valore attesoIl valore atteso E[X] = Σ x p_X(x) è la media dei valori di X pesata con le loro probabilità (esiste se la serie converge assolutamente); per una funzione g vale E[g(X)] = Σ g(x) p_X(x) senza trovare la legge di g(X), ed E è lineare: E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y] + c.Valore atteso →, Varianza e momentiI momenti E[X^k] e i momenti centrati E[(X − μ)^k] descrivono la forma di una legge; la varianza Var(X) = E[(X − μ)²] = E[X²] − E[X]² misura quanto X si disperde attorno alla media, vale Var(aX + b) = a² Var(X) e Var(X) = 0 solo se X è costante.Varianza e momenti →.

Situazione

Si ripete lo stesso esperimento in modo indipendente, con probabilità di successo $p \in (0, 1]$ a ogni prova, finché non arriva il primo successo. $X =$ numero della prova in cui arriva il primo successo (cioè il numero totale di prove fatte, successo compreso).

Esempi: lanciare una moneta finché esce testa; lanciare un dado finché esce 6; trasmettere un pacchetto finché arriva senza errori.

Differenza con la binomialeBernoulli Be(p): un solo tentativo, vale 1 con probabilità p; binomiale Bin(n, p): numero di successi in n prove indipendenti, P(X = k) = C(n,k) p^k (1−p)^(n−k), media np e varianza np(1−p); uniforme discreta: n valori equiprobabili.Bernoulli, binomiale e uniforme discreta →: nella binomiale il numero di prove $n$ è fissato e si contano i successi; nella geometrica si fissa il numero di successi (uno) e si conta quante prove servono, che è aleatorio e può essere grande quanto si vuole.

Densità

$X \sim \text{Geo}(p)$ se ha alfabeto $\mathbb N^* = \{1, 2, 3, \dots\}$ e $$p_X(n) = (1 - p)^{n - 1} p, \qquad n = 1, 2, \dots$$

Perché. $\{X = n\}$ significa: le prime $n - 1$ prove sono insuccessi e la $n$-esima è un successo. Per l'indipendenza:

$$P(X = n) = \underbrace{(1 - p) \cdots (1 - p)}_{n - 1 \text{ insuccessi}} \cdot \underbrace{p}_{\text{successo}} = (1 - p)^{n - 1} p.$$

Controllo che la somma fa 1. Posto $q = 1 - p \in [0, 1)$, è una serie geometricaLa somma dei q^j per j da 0 a infinito vale 1/(1 − q) quando il modulo di q è minore di 1.:

$$\sum_{n = 1}^\infty q^{n - 1} p = p \sum_{j = 0}^\infty q^j = p \cdot \frac{1}{1 - q} = \frac pp = 1. \ ✓$$

(Ecco perché si esclude $p = 0$: con probabilità di successo nulla il successo non arriva mai e $X$ non sarebbe un numero.)

La densità è sempre decrescente (ogni termine è il precedente moltiplicato per $q < 1$): il valore più probabile è sempre $n = 1$, anche quando $p$ è piccolo.

Probabilità di lunga attesa e FdD

$$P(X > n) = (1 - p)^n, \qquad n = 0, 1, 2, \dots$$

Perché (senza sommare serie): $X > n$ significa che il primo successo arriva dopo la prova $n$, cioè che le prime $n$ prove sono tutte insuccessi. Per l'indipendenza la probabilità è $(1 - p)^n$.

Si chiama "probabilità di lunga attesa" ed è la formula più usata negli esercizi. Per esempio (II appello 12.02.2026 e III appello 24.06.2026): $X \sim \text{Geo}(\frac12)$, $E[X] = 2$, quindi

$$P(X > E[X]) = P(X > 2) = \left(1 - \tfrac12\right)^2 = \tfrac14.$$

Ne segue la FdDLa funzione di distribuzione (FdD) F_X(x) = P(X ≤ x) è definita per ogni v.a., è crescente, continua a destra, va da 0 a 1 e determina la legge; per una v.a. discreta è a gradini, con salti in corrispondenza dei valori e di altezza pari alla densità.Funzione di distribuzione →: per $n$ intero $F_X(n) = 1 - (1 - p)^n$, e in generale

$$F_X(x) = \begin{cases} 0 & x < 1 \\ 1 - (1 - p)^{\lfloor x \rfloor} & x \ge 1. \end{cases}$$

Assenza di memoria

Per ogni $n, m \ge 0$ interi: $$P(X > n + m \mid X > n) = P(X > m).$$

Dimostrazione. Se $X > n + m$ allora anche $X > n$, quindi $\{X > n + m\} \cap \{X > n\} = \{X > n + m\}$. Per la definizione di Probabilità condizionataLa probabilità di A sapendo che si è verificato B è P(A ∣ B) = P(A ∩ B) / P(B), con P(B) > 0; è una nuova misura di probabilità, e da essa seguono la regola del prodotto e la regola della catena.Probabilità condizionata →:

$$P(X > n + m \mid X > n) = \frac{P(X > n + m)}{P(X > n)} = \frac{(1 - p)^{n + m}}{(1 - p)^n} = (1 - p)^m = P(X > m). \ ∎$$

Significato. Sapendo che nelle prime $n$ prove non è arrivato nessun successo, la probabilità di dover aspettare ancora più di $m$ prove è la stessa che si aveva all'inizio. Le prove passate non "caricano" quelle future: la moneta non si ricorda di aver dato croce dieci volte di fila. È la versione matematica del fatto che puntare su un numero "ritardatario" al lotto non dà nessun vantaggio.

La geometrica è l'unica legge a valori in $\mathbb N^*$ senza memoria; nel continuo lo stesso ruolo lo ha l'esponenziale (Distribuzioni uniforme continua ed esponenziale).

Media e varianza

Se $X \sim \text{Geo}(p)$: $\quad E[X] = \dfrac1p, \qquad \text{Var}(X) = \dfrac{1 - p}{p^2}.$

Media. Derivando termine a termine la serie geometrica $\sum_{n \ge 0} q^n = \frac1{1 - q}$ (lecito per $|q| < 1$) si ottiene $\sum_{n \ge 1} n q^{n - 1} = \frac{1}{(1 - q)^2}$. Quindi

$$E[X] = \sum_{n = 1}^\infty n \, q^{n - 1} p = p \cdot \frac{1}{(1 - q)^2} = \frac{p}{p^2} = \frac1p.$$

Interpretazione: se il successo ha probabilità $\frac16$ (un 6 col dado), in media servono $6$ lanci.

Varianza. Derivando una seconda volta, $\sum_{n \ge 2} n(n - 1) q^{n - 2} = \frac{2}{(1 - q)^3}$, quindi

$$E[X(X - 1)] = \sum_{n = 2}^\infty n(n - 1) q^{n - 1} p = pq \cdot \frac{2}{(1 - q)^3} = \frac{2q}{p^2}.$$

Allora $E[X^2] = E[X(X - 1)] + E[X] = \frac{2q}{p^2} + \frac1p$ e

$$\text{Var}(X) = \frac{2q}{p^2} + \frac1p - \frac1{p^2} = \frac{2q + p - 1}{p^2} = \frac{2q - q}{p^2} = \frac{q}{p^2} = \frac{1 - p}{p^2}.$$

Per $\text{Geo}(\frac12)$: $E[X] = 2$, $\text{Var}(X) = \frac{1/2}{1/4} = 2$.

Funzioni esponenziali di una geometrica

Negli esercizi capita di dover calcolare $E[s^X]$ per un numero $s$ (è la funzione generatrice delle probabilitàLa funzione s ↦ E[s^X]; da essa si ricavano densità e momenti, ed è parente della funzione generatrice dei momenti.). Con il teorema fondamentale del valore medioLa media di g(X) si calcola sommando g(x) per la densità di X, senza trovare la legge di g(X).Valore atteso →:

$$E[s^X] = \sum_{n = 1}^\infty s^n q^{n - 1} p = ps \sum_{j = 0}^\infty (qs)^j = \frac{ps}{1 - qs}, \qquad \text{se } |qs| < 1.$$

Se invece $|qs| \ge 1$ la serie diverge e $E[s^X] = +\infty$ (per $s > 0$).

III appello 24.06.2026: $X \sim \text{Geo}(\frac12)$, $W = \left(\frac32\right)^X$. Qui $qs = \frac12 \cdot \frac32 = \frac34 < 1$:

$$E[W] = \sum_{n = 1}^\infty \left(\tfrac32\right)^n \left(\tfrac12\right)^{n} = \sum_{n = 1}^\infty \left(\tfrac34\right)^n = \frac{3/4}{1 - 3/4} = 3.$$

(Formula generale: $\frac{ps}{1 - qs} = \frac{3/4}{1/4} = 3$ ✓.) Lo stesso calcolo con $s = a$ complesso dà la funzione caratteristica nel II parziale 15.01.2026: $E[a^T] = \frac{qa}{1 - (1 - q)a}$ per $T \sim \text{Geo}(q)$.

Somma di due geometriche

Se $X, Y \sim \text{Geo}(p)$ sono indipendenti, $Z = X + Y$ è il numero di prove necessarie per ottenere due successi; vale $p_Z(n) = (n - 1) p^2 (1 - p)^{n - 2}$ per $n \ge 2$ (per $p = \frac12$: $\frac{n - 1}{2^n}$). Il calcolo è in Somma di variabili aleatorie indipendenti.

Attenzione alla convenzione

Alcuni testi (e alcune librerie) chiamano geometrica il numero di insuccessi prima del primo successo, $X' = X - 1$, con alfabeto $\{0, 1, 2, \dots\}$, densità $(1 - p)^k p$ e media $\frac{1 - p}{p}$. In questo corso $\text{Geo}(p)$ parte da $1$ e ha media $\frac1p$.

Riepilogo

Errori comuni

• Esponente sbagliato: in $P(X = n)$ l'esponente è $n - 1$ (gli insuccessi), in $P(X > n)$ è $n$.
• $P(X \ge n)$ confusa con $P(X > n)$: $P(X \ge n) = P(X > n - 1) = (1 - p)^{n - 1}$.
• Pensare che l'assenza di memoria renda gli eventi indipendenti: $\{X > n + m\}$ e $\{X > n\}$ non sono indipendenti (uno contiene l'altro); è la probabilità condizionata che coincide con quella iniziale.
• Usare la convenzione da 0 con le formule del corso (o viceversa).