Prove ripetute e modello binomiale

Prima: Indipendenza di eventiA e B sono indipendenti se P(A ∩ B) = P(A) P(B), cioè se sapere che uno si è verificato non cambia la probabilità dell'altro; l'indipendenza passa ai complementari, non va confusa con l'incompatibilità, e per più eventi va richiesta su ogni sottofamiglia.Indipendenza di eventi →. Dopo: Variabili aleatorie discrete e densità discretaUna variabile aleatoria discreta è una funzione X da Ω in R che assume un insieme finito o numerabile di valori (l'alfabeto); la sua densità discreta p_X(x) = P(X = x) basta a calcolare la probabilità di ogni evento che riguarda X.Variabili aleatorie discrete e densità discreta →, Bernoulli, binomiale e uniforme discretaBernoulli Be(p): un solo tentativo, vale 1 con probabilità p; binomiale Bin(n, p): numero di successi in n prove indipendenti, P(X = k) = C(n,k) p^k (1−p)^(n−k), media np e varianza np(1−p); uniforme discreta: n valori equiprobabili.Bernoulli, binomiale e uniforme discreta →. Esercizio svolto: Esercizio 4 · 42 teste in 100 lanci di una moneta.

Lo schema delle prove ripetute

Si ripete $n$ volte lo stesso esperimento, che ha solo due esiti: successo (indicato con $1$) e insuccesso ($0$). Si suppone che

1. ogni prova dia successo con la stessa probabilità $p \in [0, 1]$;
2. le prove siano indipendenti: gli eventi $S_i =$ "successo alla prova $i$" sono mutuamente indipendentiPer ogni sottofamiglia di prove, la probabilità che diano tutte i risultati indicati è il prodotto delle probabilità.Indipendenza di eventi →.

Esempi: $n$ lanci di una moneta (successo = testa, $p = \frac12$); $n$ lanci di un dado (successo = "esce 6", $p = \frac16$); $n$ estrazioni con reinserimento da un'urna (successo = "nera", $p =$ frazione di nere); $n$ pezzi prodotti da una macchina che sbaglia con probabilità $p$.

Il nome tecnico è prove di Bernoulli (prove ripetute indipendenti ed equiprobabili).

Lo spazio di probabilità

$$\Omega = \{0, 1\}^n = \{(x_1, \dots, x_n) : x_i \in \{0, 1\}\}, \qquad |\Omega| = 2^n$$

Una sequenza $\omega = (x_1, \dots, x_n)$ con $k$ successi (cioè $\sum_i x_i = k$) e $n - k$ insuccessi è l'intersezione di $n$ eventi indipendenti ("successo alla prova $i$" oppure "insuccesso alla prova $i$"), quindi la sua probabilità è il prodotto:

$$\boxed{p(\omega) = p^{k} (1 - p)^{n - k}, \qquad k = \sum_{i=1}^n x_i}$$

Esempio: $n = 4$, $\omega = (1, 0, 1, 1)$: $p \cdot (1-p) \cdot p \cdot p = p^3 (1 - p)$.

Questa densità somma a $1$ (segue dal binomio di Newton, vedi sotto). Se $p = \frac12$ ogni sequenza ha probabilità $\frac1{2^n}$: si ritrova lo spazio uniformeTutti gli esiti hanno la stessa probabilità 1/∣Ω∣.Spazi di probabilità discreti e uniformi →. Se $p \ne \frac12$ le sequenze non sono equiprobabili (con $p$ grande sono più probabili quelle con tanti successi) e "favorevoli su possibili" non si può usare.

Probabilità di esattamente $k$ successi

Sia $A_k =$ "esattamente $k$ successi nelle $n$ prove", $k = 0, 1, \dots, n$.

• Ogni sequenza di $A_k$ ha la stessa probabilità $p^k (1-p)^{n-k}$ (dipende solo da quanti successi contiene, non da dove).
• Le sequenze di $A_k$ sono tante quante i modi di scegliere le posizioni dei $k$ successi tra le $n$ prove: $\binom{n}{k}$ (combinazioniIl numero di sottoinsiemi di k elementi presi da n è n! / (k! (n−k)!).Calcolo combinatorio per la probabilità →).

Quindi

$$\boxed{\mathbb{P}(A_k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k}, \qquad k = 0, 1, \dots, n}$$

È il modello binomiale. Le probabilità sommano a $1$ per il binomio di Newton: $\sum_{k=0}^n \binom nk p^k (1-p)^{n-k} = (p + (1 - p))^n = 1^n = 1$.

Esempio (dado). 10 lanci di un dado equo, probabilità di ottenere esattamente due 6: $n = 10$, $k = 2$, $p = \frac16$:

$$\binom{10}{2} \left(\frac16\right)^2 \left(\frac56\right)^8 = 45 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{5^8}{6^8} \approx 0{,}291$$

Esempio ("almeno uno"). Probabilità di almeno un 6 in 10 lanci: con il complementare, $1 - \mathbb{P}(A_0) = 1 - \left(\frac56\right)^{10} \approx 0{,}838$.

Esempio (42 teste su 100 lanci, lezione 3). $p = \frac12$: $\mathbb{P}(A_{42}) = \binom{100}{42} \frac{1}{2^{100}} \approx 0{,}0223$. Svolgimento nell'Esercizio 4 · 42 teste in 100 lanci di una moneta.

Valori esatti: $0{,}028$; $0{,}121$; $0{,}233$; $0{,}267$; $0{,}200$; $0{,}103$; $0{,}037$; $0{,}009$; $0{,}001$; $\dots$ per $k = 0, 1, 2, \dots$ Le probabilità crescono fino a $k = 3$ e poi decrescono: il valore più probabile è vicino a $np$.

Tempo del primo successo

Si ripetono le prove senza fermarsi e si guarda quando arriva il primo successo. L'evento "il primo successo arriva alla prova $k$" è "insuccesso alle prove $1, \dots, k - 1$ e successo alla prova $k$"; per l'indipendenza

$$\mathbb{P}(\text{primo successo alla prova } k) = (1 - p)^{k - 1} p, \qquad k = 1, 2, \dots$$

e

$$\mathbb{P}(\text{nessun successo nelle prime } k \text{ prove}) = (1 - p)^k$$

(la "probabilità di lunga attesa", usata negli appelli). Sono le probabilità della distribuzione geometricaGeo(p): P(T = k) = (1−p)^(k−1) p per k = 1, 2, ...; media 1/p.Distribuzione geometrica →.

Esempio: con un dado, probabilità che il primo 6 arrivi al terzo lancio: $\left(\frac56\right)^2 \frac16 = \frac{25}{216} \approx 0{,}116$; probabilità di non vedere nessun 6 nei primi 3 lanci: $\left(\frac56\right)^3 \approx 0{,}579$.

Riepilogo

Con le variabili aleatorieUna variabile aleatoria discreta è una funzione X da Ω in R che assume un insieme finito o numerabile di valori (l'alfabeto); la sua densità discreta p_X(x) = P(X = x) basta a calcolare la probabilità di ogni evento che riguarda X.Variabili aleatorie discrete e densità discreta → queste probabilità diventano le densità della binomiale $\text{Bin}(n, p)$ e della geometrica $\text{Geo}(p)$.

Errori comuni

• Dimenticare il coefficiente $\binom nk$: $p^k (1-p)^{n-k}$ è la probabilità di una sequenza, non di "$k$ successi".
• Usare il modello binomiale per estrazioni senza reinserimento: le prove non sono indipendenti (si usa l'ipergeometrica, vedi Calcolo combinatorio per la probabilitàNegli spazi uniformi bisogna contare: principio di moltiplicazione, disposizioni con ripetizione n^k, disposizioni semplici n!/(n−k)!, permutazioni n!, combinazioni (n su k); estrazioni con e senza reinserimento e distribuzione ipergeometrica.Calcolo combinatorio per la probabilità →).
• Confondere "esattamente $k$" con "almeno $k$": "almeno $k$" è la somma da $k$ a $n$, spesso più comoda con il complementare.