Indipendenza di eventi

Prima: Formula delle probabilità totali e formula di BayesSe (A_i) è una partizione di Ω, P(B) = Σ P(B ∣ A_i) P(A_i) (probabilità totali); la formula di Bayes inverte il condizionamento: P(A_k ∣ B) = P(B ∣ A_k) P(A_k) / P(B).Formula delle probabilità totali e formula di Bayes →. Dopo: Prove ripetute e modello binomialen prove indipendenti, ciascuna con probabilità di successo p: una sequenza con k successi ha probabilità p^k (1−p)^(n−k), e la probabilità di esattamente k successi è (n su k) p^k (1−p)^(n−k) (modello binomiale); il primo successo alla prova k ha probabilità (1−p)^(k−1) p.Prove ripetute e modello binomiale →. È chiesta in quasi tutti gli appelli ("stabilire se gli eventi $A$ e $B$ sono indipendenti").

Definizione per due eventi

Intuitivamente $A$ è indipendente da $B$ se sapere che $B$ si è verificato non cambia la probabilità di $A$: $\mathbb{P}(A \mid B) = \mathbb{P}(A)$. Moltiplicando per $\mathbb{P}(B)$ si ottiene una forma simmetrica, che non richiede $\mathbb{P}(B) > 0$ ed è quella usata come definizione:

Due eventi $A$ e $B$ sono indipendenti se $$\boxed{\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A)\, \mathbb{P}(B)}$$

Se $\mathbb{P}(B) > 0$ la definizione equivale a $\mathbb{P}(A \mid B) = \mathbb{P}(A)$; se $\mathbb{P}(A) > 0$, a $\mathbb{P}(B \mid A) = \mathbb{P}(B)$.

Come si verifica in un esercizio: si calcolano separatamente i tre numeri $\mathbb{P}(A \cap B)$, $\mathbb{P}(A)$, $\mathbb{P}(B)$ e si controlla se il primo è il prodotto degli altri due. Basta che l'uguaglianza fallisca per concludere che non sono indipendenti.

Esempio (due dadi). $A =$ "il primo dado dà 1", $B =$ "la somma è 7". $\mathbb{P}(A) = \frac6{36} = \frac16$, $\mathbb{P}(B) = \frac6{36} = \frac16$, $A \cap B = \{(1, 6)\}$ quindi $\mathbb{P}(A \cap B) = \frac1{36} = \frac16 \cdot \frac16$: indipendenti. Invece con $C =$ "la somma è 12" $= \{(6,6)\}$: $\mathbb{P}(A \cap C) = 0 \ne \frac16 \cdot \frac1{36}$: non indipendenti (se il primo dado dà 1 la somma 12 è impossibile).

Esempio dagli appelli. Con $\mathbb{P}(A \cup B) = \frac12$, $\mathbb{P}(A^c \cap B) = \frac14$, $\mathbb{P}(A \cap B) = 0$ si trova $\mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(B) = \frac14$, e $\mathbb{P}(A \cap B) = 0 \ne \frac1{16}$: non indipendenti (II appello, esercizio 1).

L'indipendenza passa ai complementari

Se $A$ e $B$ sono indipendenti, allora sono indipendenti anche $A$ e $B^c$, $A^c$ e $B$, $A^c$ e $B^c$.

Dimostrazione per $A$ e $B^c$ (I parziale, esercizio 1a). $A$ si spezza nelle due parti disgiunte $A \cap B$ e $A \cap B^c$, quindi per additività

$$\mathbb{P}(A \cap B^c) = \mathbb{P}(A) - \mathbb{P}(A \cap B) \overset{\text{indip.}}{=} \mathbb{P}(A) - \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B) = \mathbb{P}(A)\big(1 - \mathbb{P}(B)\big) = \mathbb{P}(A)\, \mathbb{P}(B^c) \qquad \blacksquare$$

Le altre si ottengono applicando questo risultato due volte (scambiando i ruoli).

Uso pratico: per decidere se $A$ e $B$ sono indipendenti si può controllare qualunque delle quattro coppie, quella con i dati più comodi. Nel I appello (esercizio 1) sono dati $\mathbb{P}(A^c \cap B^c) = \frac12$ e si trova $\mathbb{P}(A^c) = \mathbb{P}(B^c) = \frac34$: poiché $\frac12 \ne \frac34 \cdot \frac34 = \frac9{16}$, $A^c$ e $B^c$ non sono indipendenti, quindi neanche $A$ e $B$.

Indipendenti non vuol dire incompatibili

Due eventi incompatibili ($A \cap B = \emptyset$) con probabilità positive non sono mai indipendenti: $\mathbb{P}(A \cap B) = 0$ mentre $\mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B) > 0$. Anzi, sono fortemente dipendenti: se si verifica $A$, sicuramente $B$ non si verifica.

Casi limite: un evento di probabilità $0$ o $1$ è indipendente da qualunque altro evento (se $\mathbb{P}(A) = 0$ allora $0 \le \mathbb{P}(A \cap B) \le \mathbb{P}(A) = 0 = \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)$).

Più di due eventi

Gli eventi $A_1, \dots, A_n$ sono (mutuamente) indipendenti se per ogni sottofamiglia di indici $I \subseteq \{1, \dots, n\}$ con almeno due elementi $$\mathbb{P}\Big(\bigcap_{i \in I} A_i\Big) = \prod_{i \in I} \mathbb{P}(A_i)$$

Con tre eventi servono quattro condizioni:

$$\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B), \quad \mathbb{P}(A \cap C) = \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(C), \quad \mathbb{P}(B \cap C) = \mathbb{P}(B)\mathbb{P}(C), \quad \mathbb{P}(A \cap B \cap C) = \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)\mathbb{P}(C)$$

L'indipendenza a due a due non basta. Due monete eque, $A =$ "testa alla prima", $B =$ "testa alla seconda", $C =$ "i due risultati sono uguali". Con $\Omega = \{TT, TC, CT, CC\}$ uniforme: $\mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(B) = \mathbb{P}(C) = \frac12$; $A \cap B = A \cap C = B \cap C = \{TT\}$ hanno probabilità $\frac14 = \frac12 \cdot \frac12$: indipendenti a due a due. Ma $A \cap B \cap C = \{TT\}$ ha probabilità $\frac14 \ne \frac18$: non mutuamente indipendenti (se so $A$ e $B$, conosco $C$ con certezza).

Una famiglia infinita di eventi è indipendente se lo è ogni sua sottofamiglia finita. Anche qui l'indipendenza passa ai complementari: si può sostituire qualunque $A_i$ con $A_i^c$.

Uso tipico: "almeno uno" tra eventi indipendenti si calcola con il complementare e il prodotto:

$$\mathbb{P}\Big(\bigcup_{i=1}^n A_i\Big) = 1 - \mathbb{P}\Big(\bigcap_{i=1}^n A_i^c\Big) = 1 - \prod_{i=1}^n \big(1 - \mathbb{P}(A_i)\big)$$

Esempio: un sistema con 3 componenti in parallelo, ciascuno guasto con probabilità $0{,}1$ indipendentemente, funziona se almeno uno funziona: $1 - 0{,}1^3 = 0{,}999$.

Indipendenza condizionata

Gli eventi possono essere indipendenti dato ogni scenario ma non indipendenti "in assoluto". Nel III appello si scelgono due componenti dallo stesso fornitore (scelto a caso): sapendo il fornitore, i difetti dei due pezzi sono indipendenti, ma senza saperlo no, perché un primo pezzo difettoso rende più probabile un fornitore "cattivo" e quindi un secondo pezzo difettoso. Con i dati dell'esercizio $\mathbb{P}(D_1) = \mathbb{P}(D_2) = \frac{11}{120}$ ma $\mathbb{P}(D_1 \cap D_2) = \frac{9}{800} = 0{,}01125 \ne \left(\frac{11}{120}\right)^2 \approx 0{,}0084$.

Errori comuni

• Confondere indipendenti e incompatibili.
• Usare $\mathbb{P}(A \cap B) = \mathbb{P}(A)\mathbb{P}(B)$ senza che l'indipendenza sia data o dimostrata.
• Verificare solo le coppie per tre o più eventi.
• Dedurre l'indipendenza "dal buon senso" quando i dati permettono di calcolarla: va sempre controllata con i numeri.