Esercizio 1sigma-algebre su un insieme di quattro elementi

Testo (Lezione 2, esercizio). Sia $\Omega = \{1, 2, 3, 4\}$.

1. Sia $\mathcal{F}_1 = \{\emptyset, \{1, 2\}, \{3, 4\}, \Omega\}$. È una σ-algebra?
2. Sia $\mathcal{F}_2 = \{\emptyset, \{1\}, \{2, 3\}, \{1, 4\}, \{2, 3, 4\}, \Omega\}$. È una σ-algebra?

(In più, non richiesto: trovare la più piccola σ-algebra che contiene $\mathcal{F}_2$.)

Cosa bisogna controllare

Per la definizione di σ-algebraUna famiglia di sottoinsiemi di Ω che contiene ∅, contiene il complementare di ogni suo elemento e l'unione di ogni successione di suoi elementi.Sigma-algebre di eventi → servono tre cose:

1. $\emptyset \in \mathcal{F}$;
2. chiusura per complementare: $A \in \mathcal{F} \Rightarrow A^c \in \mathcal{F}$;
3. chiusura per unioni numerabili.

Semplificazione perché $\Omega$ è finito. $\mathcal{F}$ ha un numero finito di elementi, quindi un'unione numerabile di elementi di $\mathcal{F}$ è in realtà un'unione di un numero finito di elementi distinti (le ripetizioni non cambiano l'unione). Inoltre basta controllare le unioni di due elementi: se $\mathcal{F}$ è chiusa per unioni di due, lo è per unioni di tre ($A \cup B \cup C = (A \cup B) \cup C$) e così via.

Per dimostrare che una famiglia non è una σ-algebra basta invece un solo controesempio.

1. $\mathcal{F}_1 = \{\emptyset, \{1,2\}, \{3,4\}, \Omega\}$

Condizione 1. $\emptyset \in \mathcal{F}_1$ ✓.

Condizione 2: complementari (rispetto a $\Omega = \{1, 2, 3, 4\}$):

Condizione 3: unioni di due elementi. Unire con $\emptyset$ non cambia l'insieme, unire con $\Omega$ dà $\Omega$; l'unica unione "nuova" è $\{1, 2\} \cup \{3, 4\} = \Omega \in \mathcal{F}_1$ ✓.

Risposta: sì, $\mathcal{F}_1$ è una σ-algebra.

Perché funziona così bene. $\mathcal{F}_1$ è la σ-algebra generata dall'eventoPer un evento A non banale è {∅, A, Aᶜ, Ω}: la più piccola σ-algebra che lo contiene.Sigma-algebre di eventi → $A = \{1, 2\}$: è della forma $\{\emptyset, A, A^c, \Omega\}$ con $A^c = \{3, 4\}$. Descrive chi sa soltanto se il risultato è "piccolo" ($1$ o $2$) o "grande" ($3$ o $4$).

2. $\mathcal{F}_2 = \{\emptyset, \{1\}, \{2,3\}, \{1,4\}, \{2,3,4\}, \Omega\}$

Condizione 1. $\emptyset \in \mathcal{F}_2$ ✓.

Condizione 2: complementari.

I complementari ci sono tutti: la condizione 2 è soddisfatta. Bisogna quindi guardare le unioni.

Condizione 3: unioni. Si prova a unire due elementi di $\mathcal{F}_2$:

$$\{1\} \cup \{2, 3\} = \{1, 2, 3\} \notin \mathcal{F}_2$$

Controesempio trovato: $\mathcal{F}_2$ non è chiusa per unione.

Risposta: no, $\mathcal{F}_2$ non è una σ-algebra.

Un altro elemento mancante (indicato a lezione): anche le intersezioni devono stare in una σ-algebra (per De MorganL'intersezione è il complementare dell'unione dei complementari.Spazio campionario ed eventi →), e

$$\{1, 4\} \cap \{2, 3, 4\} = \{4\} = \{1, 2, 3\}^c \notin \mathcal{F}_2$$

I due elementi mancanti sono legati: $\{4\}$ è il complementare di $\{1, 2, 3\}$, quindi se mancasse solo uno dei due la condizione 2 sarebbe violata.

Come si cercano i controesempi. Con famiglie piccole conviene provare prima le unioni di due insiemi disgiunti che non siano complementari tra loro (qui $\{1\}$ e $\{2, 3\}$): sono quelle che più facilmente producono insiemi nuovi.

In più: la σ-algebra generata da $\mathcal{F}_2$

Quale è la più piccola σ-algebra che contiene tutti gli elementi di $\mathcal{F}_2$? Si osservi che con gli elementi di $\mathcal{F}_2$ si "isolano" tre blocchi che non si possono più spezzare:

$$\{1\}, \qquad \{4\} = \{1, 4\} \setminus \{1\}, \qquad \{2, 3\}$$

Questi tre blocchi formano una partizionePezzi disgiunti che ricoprono Ω.Spazio campionario ed eventi → di $\Omega$, e nessun elemento di $\mathcal{F}_2$ separa $2$ da $3$ (ogni elemento di $\mathcal{F}_2$ li contiene entrambi o nessuno dei due). La σ-algebra generata è fatta di tutte le unioni di blocchi: con 3 blocchi ci sono $2^3 = 8$ unioni possibili (per ogni blocco: lo prendo o no).

$$\sigma(\mathcal{F}_2) = \big\{\emptyset, \{1\}, \{4\}, \{2,3\}, \{1,4\}, \{1,2,3\}, \{2,3,4\}, \Omega\big\}$$

Rispetto a $\mathcal{F}_2$ si sono aggiunti proprio $\{4\}$ e $\{1, 2, 3\}$, i due insiemi mancanti trovati sopra. Si verifica facilmente che questa famiglia è chiusa per complementare (il complementare di un'unione di blocchi è l'unione degli altri blocchi) e per unione (un'unione di unioni di blocchi è un'unione di blocchi).

Errori comuni

• Fermarsi ai complementari: $\mathcal{F}_2$ li ha tutti, ma non è una σ-algebra.
• Dimenticare che il complementare si fa rispetto a $\Omega$: $\{2, 3\}^c = \{1, 4\}$, non $\emptyset$.
• Pensare di dover verificare infinite unioni: su $\Omega$ finito bastano quelle di due elementi.