Lezione 02 — Sigma-algebre e misura di probabilità

Data: giovedì 1 ottobre 2026 · Capitolo 1: Spazio di probabilità

Argomenti trattati

1. σ-algebra di eventi: perché a volte $\mathcal{P}(\Omega)$ è troppo grande; definizione (contiene $\emptyset$, chiusa per complementare e per unioni numerabili); conseguenze ($\Omega \in \mathcal{F}$, chiusura per unioni finite, intersezioni, combinazioni numerabili di operazioni).
2. Esempi: σ-algebra banale $\{\emptyset, \Omega\}$, massimale $\mathcal{P}(\Omega)$, generata da un evento $\{\emptyset, A, A^c, \Omega\}$; esercizio su $\Omega = \{1, 2, 3, 4\}$.
3. Proprietà: l'intersezione di σ-algebre è una σ-algebra (l'unione no); σ-algebra generata da una famiglia $\sigma(\mathcal{A})$. Convenzione: se $\Omega$ è discreto, $\mathcal{F} = \mathcal{P}(\Omega)$.
4. Misura di probabilità: definizione $\mathbb{P} : \mathcal{F} \to [0, 1]$ con normalizzazione e σ-additività.
5. Proprietà fondamentali: $\mathbb{P}(A^c) = 1 - \mathbb{P}(A)$, $\mathbb{P}(\emptyset) = 0$, monotonia, $\mathbb{P}(A \cup B) = \mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(B) - \mathbb{P}(A \cap B)$, subadditività, formula di inclusione-esclusione per 3 e per $n$ eventi.

Teoria

• Sigma-algebre di eventiUna σ-algebra è una famiglia di eventi che contiene ∅ ed è chiusa per complementare e unioni numerabili; è la famiglia degli eventi a cui si assegna una probabilità. Nel caso discreto si prende tutto 𝒫(Ω).Sigma-algebre di eventi →
• Misura di probabilità e sue proprietàUna misura di probabilità è una funzione P: F → [0,1] con P(Ω) = 1 e σ-additiva; ne seguono P(Aᶜ) = 1 − P(A), P(∅) = 0, monotonia, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) e la formula di inclusione-esclusione.Misura di probabilità e sue proprietà →

Esercizi

• Esercizio 1 · sigma-algebre su un insieme di quattro elementi — esercizio della lezione

Lezione precedente: Lezione 1 · Introduzione, spazio campionario ed eventi · Lezione successiva: Lezione 3 · Spazi discreti e uniformi