Lezione 03 — Spazi discreti e uniformi

Data: prima settimana di corso (ottobre 2026) · Capitolo 1: Spazio di probabilità

Argomenti trattati

1. Ripasso delle proprietà di $\mathbb{P}$ ed esercizi: se $\mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(B) = 0$ allora $\mathbb{P}(A \cup B) = 0$; se $\mathbb{P}(A) = \mathbb{P}(B) = 1$ allora $\mathbb{P}(A \cap B) = 1$.
2. Scelta della misura $\mathbb{P}$: in base a proprietà di simmetria del fenomeno (spazi uniformi) o a osservazioni statistiche (se il fenomeno è ripetibile).
3. Spazi di probabilità discreti: $\mathbb{P}$ è determinata dai valori sui singoletti; densità di probabilità discreta $p(\omega) = \mathbb{P}(\{\omega\})$ con $\sum_\omega p(\omega) = 1$.
4. Spazi uniformi: esiti equiprobabili, $p(\omega) = \frac1{|\Omega|}$, $\mathbb{P}(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$ (casi favorevoli su casi possibili).
5. Esempi: somma 7 con due dadi; 42 teste in 100 lanci di una moneta, che porta al problema del conteggio e al calcolo combinatorio.

Teoria

• Misura di probabilità e sue proprietàUna misura di probabilità è una funzione P: F → [0,1] con P(Ω) = 1 e σ-additiva; ne seguono P(Aᶜ) = 1 − P(A), P(∅) = 0, monotonia, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) e la formula di inclusione-esclusione.Misura di probabilità e sue proprietà → — ripasso
• Spazi di probabilità discreti e uniformiIn uno spazio discreto la probabilità è determinata dalla densità discreta p(ω) = P({ω}), con somma 1, e P(A) è la somma di p(ω) sugli esiti di A; negli spazi uniformi (esiti equiprobabili) P(A) = |A| / |Ω|, casi favorevoli su casi possibili.Spazi di probabilità discreti e uniformi →
• Calcolo combinatorio per la probabilitàNegli spazi uniformi bisogna contare: principio di moltiplicazione, disposizioni con ripetizione n^k, disposizioni semplici n!/(n−k)!, permutazioni n!, combinazioni (n su k); estrazioni con e senza reinserimento e distribuzione ipergeometrica.Calcolo combinatorio per la probabilità → — necessario per concludere il secondo esempio

Esercizi

• Esercizio 2 · eventi di probabilità 0 e 1 — esercizi 1 e 2 della lezione
• Esercizio 3 · somma 7 con due dadi — primo esempio
• Esercizio 4 · 42 teste in 100 lanci di una moneta — secondo esempio, completato con il calcolo combinatorio

Lezione precedente: Lezione 2 · Sigma-algebre e misura di probabilità