Disuguaglianze di Markov, Chebyshev e Jensen

Punto 2 del programma ("disuguaglianze di probabilità"). Prerequisiti: Valore attesoIl valore atteso E[X] = Σ x p_X(x) è la media dei valori di X pesata con le loro probabilità (esiste se la serie converge assolutamente); per una funzione g vale E[g(X)] = Σ g(x) p_X(x) senza trovare la legge di g(X), ed E è lineare: E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y] + c.Valore atteso →, Varianza e momentiI momenti E[X^k] e i momenti centrati E[(X − μ)^k] descrivono la forma di una legge; la varianza Var(X) = E[(X − μ)²] = E[X²] − E[X]² misura quanto X si disperde attorno alla media, vale Var(aX + b) = a² Var(X) e Var(X) = 0 solo se X è costante.Varianza e momenti →. Valgono identiche per le v.a. continue (Variabili aleatorie assolutamente continue) e servono a dimostrare la legge dei grandi numeri.

A cosa servono

Spesso di una v.a. si conoscono solo la media e la varianza, non la legge intera. Queste disuguaglianze danno comunque limitazioni garantite su probabilità come "$X$ è molto grande" o "$X$ è lontana dalla media", valide per qualunque legge. Il prezzo è che sono stime grossolane: dicono "al massimo tanto", non "circa tanto".

Disuguaglianza di Markov

Sia $X \ge 0$ una v.a. con media finita. Per ogni $a > 0$: $$P(X \ge a) \le \frac{E[X]}{a}.$$

Dimostrazione. Si confrontano due v.a.: $X$ e $a \, \mathbb 1_{\{X \ge a\}}$ (vale $a$ se $X \ge a$, $0$ altrimenti). Per ogni esito:

• se $X(\omega) \ge a$: $a \, \mathbb 1_{\{X \ge a\}}(\omega) = a \le X(\omega)$;
• se $X(\omega) < a$: $a \, \mathbb 1_{\{X \ge a\}}(\omega) = 0 \le X(\omega)$, perché $X \ge 0$ (qui serve l'ipotesi).

Quindi $a \, \mathbb 1_{\{X \ge a\}} \le X$. Per la monotonia e linearità della mediaSe Y ≤ X allora la media di Y è al più quella di X; le costanti escono dalla media; la media di un'indicatrice è la probabilità dell'evento.Valore atteso →:

$$a \, P(X \ge a) = E[a \, \mathbb 1_{\{X \ge a\}}] \le E[X] \quad \Rightarrow \quad P(X \ge a) \le \frac{E[X]}{a}. \ ∎$$

Significato. Una v.a. positiva non può essere spesso molto più grande della sua media: la probabilità di superare $k$ volte la media è al massimo $\frac1k$. Se il tempo medio di attesa a uno sportello è 10 minuti, la probabilità di aspettare almeno un'ora è $\le \frac{10}{60} = \frac16$, qualunque sia la legge del tempo d'attesa.

Esempio numerico. $X \sim \text{Geo}(\frac12)$, $E[X] = 2$. Markov: $P(X \ge 4) \le \frac24 = 0{,}5$. Valore vero: $P(X \ge 4) = P(X > 3) = \left(\frac12\right)^3 = 0{,}125$ (Distribuzione geometricaGeo(p) è il numero della prova in cui arriva il primo successo in prove indipendenti: P(X = n) = (1−p)^(n−1) p per n ≥ 1, P(X > n) = (1−p)^n (lunga attesa), media 1/p, varianza (1−p)/p², ed è senza memoria.Distribuzione geometrica →). La stima è corretta ma larga.

Senza $X \ge 0$ è falsa. $X = -100$ con probabilità $\frac12$ e $X = 100$ con probabilità $\frac12$: $E[X] = 0$, ma $P(X \ge 1) = \frac12$, mentre Markov darebbe $P(X \ge 1) \le \frac{E[X]}{1} = 0$. Il passaggio della dimostrazione che salta è "$0 \le X(\omega)$" quando $X(\omega) < a$.

Variante con i momenti. Applicando Markov alla v.a. positiva $|X|^k$ e osservando che $\{|X| \ge a\} = \{|X|^k \ge a^k\}$:

$$P(|X| \ge a) \le \frac{E[|X|^k]}{a^k}.$$

Disuguaglianza di Chebyshev

Sia $X$ con $E[X^2] < \infty$, $\mu = E[X]$. Per ogni $\varepsilon > 0$: $$P(|X - \mu| \ge \varepsilon) \le \frac{\text{Var}(X)}{\varepsilon^2}.$$

Dimostrazione. $|X - \mu| \ge \varepsilon$ se e solo se $(X - \mu)^2 \ge \varepsilon^2$ (entrambi i membri sono positivi, e il quadrato è crescente sui positivi). La v.a. $(X - \mu)^2$ è $\ge 0$: si applica Markov con $a = \varepsilon^2$:

$$P(|X - \mu| \ge \varepsilon) = P\big((X - \mu)^2 \ge \varepsilon^2\big) \le \frac{E[(X - \mu)^2]}{\varepsilon^2} = \frac{\text{Var}(X)}{\varepsilon^2}. \ ∎$$

Forma con le deviazioni standard. Con $\varepsilon = k\sigma$ ($\sigma = \sqrt{\text{Var}(X)}$, $k > 0$):

$$P(|X - \mu| \ge k\sigma) \le \frac{1}{k^2}, \qquad P(|X - \mu| < k\sigma) \ge 1 - \frac{1}{k^2}.$$

Per qualunque v.a. con varianza finita, almeno il 75% della probabilità sta entro 2 deviazioni standard dalla media.

Esempio numerico. $X \sim \text{Bin}(100, \frac12)$: $\mu = 50$, $\text{Var}(X) = 25$. Chebyshev:

$$P(|X - 50| \ge 10) \le \frac{25}{100} = 0{,}25.$$

Valore vero (calcolato in Python sommando la densità binomiale): $\approx 0{,}0569$. Di nuovo corretto ma largo: Chebyshev usa solo media e varianza.

Esempio: quante prove servono. Si lancia $n$ volte una moneta equa e si guarda la frequenza di teste $\bar X_n = \frac{X}{n}$, con $X \sim \text{Bin}(n, \frac12)$. Si ha $E[\bar X_n] = \frac12$ e $\text{Var}(\bar X_n) = \frac{1}{n^2} \cdot \frac n4 = \frac{1}{4n}$. Per avere la frequenza entro $0{,}05$ da $\frac12$ con probabilità almeno $95\%$ basta che

$$P\left(\left|\bar X_n - \tfrac12\right| \ge 0{,}05\right) \le \frac{1/(4n)}{0{,}05^2} = \frac{100}{n} \le 0{,}05 \iff n \ge 2000.$$

Il bound $\frac{\text{Var}}{\varepsilon^2} = \frac{1}{4n\varepsilon^2}$ tende a $0$ per $n \to \infty$: è esattamente la dimostrazione della legge debole dei grandi numeri.

Disuguaglianza di Jensen

Sia $\varphi : \mathbb R \to \mathbb R$ convessa e $X$ tale che $X$ e $\varphi(X)$ abbiano media finita. Allora $$\varphi(E[X]) \le E[\varphi(X)].$$ Se $\varphi$ è concava la disuguaglianza si rovescia: $\varphi(E[X]) \ge E[\varphi(X)]$.

Dimostrazione. Una funzione convessa sta sopra ogni sua retta di appoggioUna retta che tocca il grafico di una funzione convessa in un punto e resta tutta sotto il grafico; se la funzione è derivabile è la retta tangente.: posto $\mu = E[X]$, esiste $m \in \mathbb R$ (se $\varphi$ è derivabile, $m = \varphi'(\mu)$) tale che

$$\varphi(x) \ge \varphi(\mu) + m(x - \mu) \qquad \text{per ogni } x.$$

Si sostituisce $x$ con $X$ e si prende la media (monotonia e linearità):

$$E[\varphi(X)] \ge \varphi(\mu) + m \, E[X - \mu] = \varphi(\mu) + m \cdot 0 = \varphi(E[X]). \ ∎$$

Per $\varphi$ concava, $-\varphi$ è convessa e si applica il caso precedente.

Esempi.

(Per $\varphi$ definita solo su un intervallo, come $\frac1x$ e $\log x$, il teorema vale purché $X$ prenda valori in quell'intervallo.)

Controllo su un esercizio d'esame. Nel III appello 24.06.2026, $X \sim \text{Geo}(\frac12)$ e $W = \left(\frac32\right)^X$, con $E[W] = 3$. La funzione $\varphi(x) = \left(\frac32\right)^x$ è convessa (esponenziale), quindi deve valere $E[W] \ge \left(\frac32\right)^{E[X]} = \left(\frac32\right)^2 = 2{,}25$: infatti $3 \ge 2{,}25$ ✓. Se un calcolo desse $E[W] < 2{,}25$, ci sarebbe sicuramente un errore.

Quando vale l'uguaglianza. Se $\varphi$ è affine (allora è la linearità della media) oppure se $X$ è costante. Per $\varphi$ strettamente convessa e $X$ non costante la disuguaglianza è stretta.

Riepilogo

Errori comuni

• Usare Markov su una v.a. che può essere negativa: l'ipotesi $X \ge 0$ è essenziale.
• Scambiare le stime per approssimazioni: $0{,}25$ è un limite superiore, la probabilità vera può essere molto più piccola ($0{,}057$ nell'esempio).
• Chebyshev con $\varepsilon \le \sigma$: il secondo membro è $\ge 1$ e la disuguaglianza non dice nulla.
• Verso di Jensen: per le convesse la media "esterna" è più piccola, $\varphi(E[X]) \le E[\varphi(X)]$; un modo per ricordarlo è $\varphi(x) = x^2$, che dà $\text{Var}(X) \ge 0$.