Funzione di distribuzione

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Punto 2 del programma. Prerequisiti: Variabili aleatorie discrete e densità discreta, Misura di probabilità e sue proprietà. La stessa definizione si usa per le v.a. continue in Variabili aleatorie assolutamente continue e per le Variabili aleatorie miste.

Perché un altro oggetto oltre alla densità

La densità discreta $p_X(x) = P(X = x)$ funziona benissimo per le v.a. discrete, ma non funziona per le v.a. continue: per un tempo d'attesa esponenziale $P(X = x) = 0$ per ogni $x$ , quindi la "densità discreta" sarebbe identicamente nulla e non direbbe niente. Serve un oggetto che descriva la legge di qualsiasi v.a.: è la funzione di distribuzione, che guarda le probabilità delle semirette $(-\infty, x]$ invece dei singoli punti.

Definizione

Sia $X$ una v.a. (qualsiasi: discreta, continua o mista). La funzione di distribuzione (FdD, o funzione di ripartizione) di $X$ è $F_X : \mathbb R \to [0, 1], \qquad F_X(x) := P(X \le x).$

$F_X(x)$ è la probabilità che $X$ cada a sinistra di $x$ , $x$ compreso. L'uguale in " $\le$ " è importante: con le v.a. discrete $P(X \le x)$ e $P(X < x)$ possono essere diversi.

Proprietà

(F1) $F_X$ è crescente (debolmente): $x < y \Rightarrow F_X(x) \le F_X(y)$ .

(F2) $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} F_X(x) = 0$ e $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} F_X(x) = 1$ .

(F3) $F_X$ è continua a destra: $\displaystyle\lim_{y \to x^+} F_X(y) = F_X(x)$ per ogni $x$ .

Perché (F1). Se $x < y$ , ogni esito con $X(\omega) \le x$ ha anche $X(\omega) \le y$ : $\{X \le x\} \subseteq \{X \le y\}$ . Per la monotonia della probabilità $F_X(x) \le F_X(y)$ .

Perché (F2) e (F3). Servono la continuità della probabilità lungo successioni monotone di eventi (vedi Spazi di probabilità generali e sigma-algebra di Borel): se $A_1 \supseteq A_2 \supseteq \dots$ allora $P(\bigcap_n A_n) = \lim_n P(A_n)$ , e se $A_1 \subseteq A_2 \subseteq \dots$ allora $P(\bigcup_n A_n) = \lim_n P(A_n)$ .

Continuità a destra: gli eventi $A_n = \{X \le x + \frac1n\}$ decrescono e la loro intersezione è $\{X \le x\}$ (un esito sta in tutti gli $A_n$ se e solo se $X(\omega) \le x + \frac1n$ per ogni $n$ , cioè $X(\omega) \le x$ ). Quindi $F_X(x + \frac1n) \to F_X(x)$ .
Limite a $-\infty$ : $\{X \le -n\}$ decresce verso $\emptyset$ (nessun numero reale è $\le -n$ per ogni $n$ ), quindi $F_X(-n) \to P(\emptyset) = 0$ .
Limite a $+\infty$ : $\{X \le n\}$ cresce verso $\Omega$ (ogni numero reale è $\le n$ per $n$ abbastanza grande), quindi $F_X(n) \to P(\Omega) = 1$ .

(F1) garantisce che i limiti esistono, quindi basta calcolarli lungo le successioni $\pm n$ e $x + \frac1n$ .

Viceversa (teorema, senza dimostrazione): ogni funzione $F : \mathbb R \to [0, 1]$ con (F1), (F2), (F3) è la FdD di qualche v.a. E la FdD determina la legge: due v.a. con la stessa FdD sono identicamente distribuite. Per questo negli esercizi "determinare la legge di $X$ " e "calcolare $F_X$ " sono richieste equivalenti.

Come si calcolano le probabilità con la FdD

Probabilità	Formula	Perché
$P(X \le x)$	$F_X(x)$	definizione
$P(X > x)$	$1 - F_X(x)$	complementare di $\{X \le x\}$
$P(a < X \le b)$	$F_X(b) - F_X(a)$	$\{X \le b\} = \{X \le a\} \cup \{a < X \le b\}$ disgiunti
$P(X < x)$	$F_X(x^-) = \lim_{y \to x^-} F_X(y)$	$\{X \le x - \frac1n\}$ cresce verso $\{X < x\}$
$P(X = x)$	$F_X(x) - F_X(x^-)$	è l'altezza del salto in $x$
$P(X \ge x)$	$1 - F_X(x^-)$	complementare di $\{X < x\}$

La riga più importante è $P(X = x) = F_X(x) - F_X(x^-)$ : $F_X$ salta esattamente nei punti che hanno probabilità positiva, e il salto è quella probabilità. Dove $F_X$ è continua, $P(X = x) = 0$ .

Esempio d'esame (I parziale 17.11.2025, esercizio 4): una volta trovata $F_X$ , si chiedeva $P(X > 0)$ , e la risposta è semplicemente $1 - F_X(0)$ ; analogamente $P(X > \frac a2) = 1 - F_X(\frac a2)$ .

Il caso discreto: FdD a gradini

Se $X$ è discreta con alfabeto $\mathcal X_X$ e densità $p_X$ :

$F_X(x) = P(X \le x) = \sum_{t \in \mathcal X_X, \ t \le x} p_X(t).$

Muovendo $x$ da sinistra a destra, $F_X$ resta costante finché non incontra un valore dell'alfabeto, lì salta di $p_X(t)$ , poi resta di nuovo costante. È una funzione a gradini:

i punti di salto sono i valori dell'alfabeto;
l'altezza del salto in $t$ è $p_X(t)$ ;
nel punto di salto la FdD vale già il valore "alto" (continuità a destra): il pallino pieno sta sul gradino superiore.

Viceversa: se una FdD è costante a tratti, la v.a. è discreta, e la densità si legge dai salti. È esattamente il ragionamento del II appello 12.02.2026, esercizio 3: si trova $F_Y$ costante a tratti con salti in $1$ e $2$ e si conclude che $Y$ è discreta con $p_Y(1)$ , $p_Y(2)$ uguali ai salti.

Esempio 1: il dado

$X$ uniforme su $\{1, \dots, 6\}$ . Per $x < 1$ nessun valore è $\le x$ : $F_X(x) = 0$ . Per $1 \le x < 2$ solo il valore $1$ : $F_X(x) = \frac16$ . In generale per $k \le x < k + 1$ ( $k = 1, \dots, 5$ ) i valori $\le x$ sono $1, \dots, k$ e $F_X(x) = \frac k6$ ; per $x \ge 6$ , $F_X(x) = 1$ . In breve $F_X(x) = \frac{\lfloor x \rfloor}{6}$ per $0 \le x < 6$ .

Grafico interattivo: FdD del dado: gradini di altezza 1/6 nei punti 1, 2, …, 6 (i tratti verticali sono solo il disegno dei salti)

Lettura: $P(2 < X \le 5) = F_X(5) - F_X(2) = \frac56 - \frac26 = \frac12$ (sono i valori $3, 4, 5$ ✓). E $P(X = 3) = F_X(3) - F_X(3^-) = \frac36 - \frac26 = \frac16$ ✓.

Esempio 2: la vincita all'urna

Dalla nota Variabili aleatorie discrete e densità discreta: $X \in \{-2, 1, 4\}$ con $p_X(-2) = \frac9{49}$ , $p_X(1) = \frac{24}{49}$ , $p_X(4) = \frac{16}{49}$ . Sommando i salti da sinistra:

$F_X(x) = \begin{cases} 0 & x < -2 \\[2pt] \frac{9}{49} & -2 \le x < 1 \\[2pt] \frac{9 + 24}{49} = \frac{33}{49} & 1 \le x < 4 \\[2pt] 1 & x \ge 4 \end{cases}$

Grafico interattivo: FdD della vincita X: salti di 9/49 in −2, 24/49 in 1, 16/49 in 4

Domanda tipica: $P(X > 0) = 1 - F_X(0) = 1 - \frac9{49} = \frac{40}{49}$ (la probabilità di non perdere soldi).

Esempio 3: v.a. a valori interi

Se $X$ assume solo valori interi, tra due interi consecutivi $F_X$ è costante, quindi:

$P(X \le k) = F_X(k), \qquad P(X \ge k) = 1 - F_X(k - 1), \qquad P(X > k) = 1 - F_X(k).$

Per la Distribuzione geometrica $\text{Geo}(p)$ vale $P(X > k) = (1 - p)^k$ , quindi $F_X(x) = 1 - (1 - p)^{\lfloor x \rfloor}$ per $x \ge 1$ (e $0$ per $x < 1$ ).

Errori comuni

Confondere $\le$ e $<$ nelle v.a. discrete: per il dado $P(X \le 3) = \frac12$ ma $P(X < 3) = \frac13$ . Con le v.a. continue invece non cambia niente.
Mettere il valore del gradino dalla parte sbagliata: $F_X$ è continua a destra, quindi nel punto di salto vale il valore alto ( $F_X(1) = \frac{33}{49}$ nell'esempio 2, non $\frac{9}{49}$ ).
Dimenticare i tratti costanti: $F_X$ è definita su tutto $\mathbb R$ , non solo sull'alfabeto; vanno scritti anche $x <$ min e $x \ge$ max.
Calcolare $P(a \le X \le b)$ come $F_X(b) - F_X(a)$ : così si perde $P(X = a)$ ; la formula giusta è $F_X(b) - F_X(a^-)$ .