Distribuzione di Poisson

Caso notevole del punto 2 del programma. Prerequisiti: Bernoulli, binomiale e uniforme discretaBernoulli Be(p): un solo tentativo, vale 1 con probabilità p; binomiale Bin(n, p): numero di successi in n prove indipendenti, P(X = k) = C(n,k) p^k (1−p)^(n−k), media np e varianza np(1−p); uniforme discreta: n valori equiprobabili.Bernoulli, binomiale e uniforme discreta →, Variabili aleatorie discrete e densità discretaUna variabile aleatoria discreta è una funzione X da Ω in R che assume un insieme finito o numerabile di valori (l'alfabeto); la sua densità discreta p_X(x) = P(X = x) basta a calcolare la probabilità di ogni evento che riguarda X.Variabili aleatorie discrete e densità discreta →. Media e varianza: Valore attesoIl valore atteso E[X] = Σ x p_X(x) è la media dei valori di X pesata con le loro probabilità (esiste se la serie converge assolutamente); per una funzione g vale E[g(X)] = Σ g(x) p_X(x) senza trovare la legge di g(X), ed E è lineare: E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y] + c.Valore atteso →, Varianza e momentiI momenti E[X^k] e i momenti centrati E[(X − μ)^k] descrivono la forma di una legge; la varianza Var(X) = E[(X − μ)²] = E[X²] − E[X]² misura quanto X si disperde attorno alla media, vale Var(aX + b) = a² Var(X) e Var(X) = 0 solo se X è costante.Varianza e momenti →.

Situazione

Si contano gli eventi di un certo tipo che avvengono in un intervallo di tempo (o di spazio) fissato, quando gli eventi sono tanti tentativi, ciascuno molto improbabile: chiamate a un centralino in un'ora, pacchetti che arrivano a un router in un secondo, errori di trasmissione in un file, malati di una malattia rara in un campione. Il numero di tentativi è enorme (o nemmeno ben definito) e ognuno ha probabilità piccolissima: conta solo il numero medio $\lambda$ di eventi. È la "legge degli eventi rari".

Densità

$X \sim \text{Poi}(\lambda)$, con $\lambda > 0$, se $X$ ha alfabeto $\mathbb N = \{0, 1, 2, \dots\}$ e $$p_X(k) = e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!}, \qquad k = 0, 1, 2, \dots$$

Controllo che la somma fa 1. Si usa la serie esponenzialePer ogni numero reale λ, la somma dei λ^k/k! per k da 0 a infinito vale e^λ.:

$$\sum_{k = 0}^\infty e^{-\lambda} \frac{\lambda^k}{k!} = e^{-\lambda} \sum_{k = 0}^\infty \frac{\lambda^k}{k!} = e^{-\lambda} e^{\lambda} = 1. \ ✓$$

Il fattore $e^{-\lambda}$ è esattamente la costante che serve a normalizzare i termini $\frac{\lambda^k}{k!}$.

Forma della densità

Il rapporto tra due termini consecutivi è

$$\frac{p_X(k)}{p_X(k - 1)} = \frac{\lambda^k / k!}{\lambda^{k - 1}/(k - 1)!} = \frac{\lambda}{k}.$$

Quindi la densità cresce finché $k < \lambda$ e decresce quando $k > \lambda$: il massimo è in $k = \lfloor \lambda \rfloor$ (se $\lambda$ è intero, $k = \lambda - 1$ e $k = \lambda$ hanno la stessa probabilità). Per $\lambda = 5$: $p_X(4) = p_X(5) \approx 0{,}1755$.

Media e varianza

Se $X \sim \text{Poi}(\lambda)$: $\quad E[X] = \lambda, \qquad \text{Var}(X) = \lambda.$

Media. Il termine $k = 0$ è nullo; per $k \ge 1$ si semplifica $\frac{k}{k!} = \frac{1}{(k - 1)!}$:

$$E[X] = \sum_{k = 1}^\infty k \, e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} = \lambda \sum_{k = 1}^\infty e^{-\lambda} \frac{\lambda^{k - 1}}{(k - 1)!} = \lambda \sum_{j = 0}^\infty e^{-\lambda}\frac{\lambda^j}{j!} = \lambda \cdot 1.$$

Varianza. Stesso trucco con $\frac{k(k - 1)}{k!} = \frac{1}{(k - 2)!}$ per $k \ge 2$:

$$E[X(X - 1)] = \lambda^2 \sum_{k = 2}^\infty e^{-\lambda}\frac{\lambda^{k - 2}}{(k - 2)!} = \lambda^2, \qquad \text{Var}(X) = E[X(X-1)] + E[X] - E[X]^2 = \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 = \lambda.$$

Media e varianza uguali sono una "firma" della Poisson: nei dati reali di conteggio, se la varianza empirica è molto diversa dalla media, il modello di Poisson è sospetto.

Approssimazione di Poisson della binomiale

Teorema. Sia $\lambda > 0$ e $X_n \sim \text{Bin}(n, \frac\lambda n)$. Allora per ogni $k \in \mathbb N$ fissato $$\lim_{n \to \infty} P(X_n = k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}.$$

Cioè: tante prove ($n \to \infty$), ciascuna con probabilità piccola ($p = \frac\lambda n \to 0$), con numero medio di successi fisso ($np = \lambda$), danno una Poisson.

Dimostrazione. Si scrive il coefficiente binomiale come $\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}$ e si riordinano i fattori:

$$\binom nk \left(\frac\lambda n\right)^k \left(1 - \frac\lambda n\right)^{n - k} = \underbrace{\frac{n(n - 1) \cdots (n - k + 1)}{n^k}}_{(1)} \cdot \frac{\lambda^k}{k!} \cdot \underbrace{\left(1 - \frac\lambda n\right)^n}_{(2)} \cdot \underbrace{\left(1 - \frac\lambda n\right)^{-k}}_{(3)}.$$

1. $(1) = 1 \cdot \left(1 - \frac1n\right) \cdots \left(1 - \frac{k - 1}{n}\right)$: sono $k$ fattori (numero fisso), ognuno tende a $1$, quindi $(1) \to 1$.
2. $(2) \to e^{-\lambda}$, per il limite notevole(1 + x/n)^n tende a e^x per n che tende a infinito, per ogni x reale; qui x = −λ..
3. $(3) \to 1^{-k} = 1$, perché l'esponente $-k$ è fisso e la base tende a $1$.

Il prodotto tende a $\frac{\lambda^k}{k!} e^{-\lambda}$. ∎

Regola pratica. Se $X \sim \text{Bin}(n, p)$ con $n$ grande e $p$ piccolo (indicativamente $n \ge 50$, $p \le 0{,}1$, $np$ dell'ordine delle unità), si approssima

$$X \approx Y \sim \text{Poi}(\lambda), \qquad \lambda = np \quad (\text{stessa media}).$$

Il vantaggio: le somme con i coefficienti $\binom{1000}{k}$ sono scomode, quelle con $\frac{5^k}{k!}$ no; e serve solo il prodotto $np$.

Esempio d'esame

(I parziale 17.11.2025, esercizio 2c.) In un campione di 1000 femmine, ognuna malata con probabilità $0{,}005$ indipendentemente dalle altre, il numero di malate è $X \sim \text{Bin}(1000;\ 0{,}005)$. Si chiede $P(X > 5)$.

• Esatta: $P(X > 5) = 1 - \sum_{k = 0}^5 \binom{1000}{k} 0{,}005^k \, 0{,}995^{1000 - k}$.
• Approssimata: $\lambda = 1000 \cdot 0{,}005 = 5$, quindi $P(X > 5) \approx 1 - e^{-5}\sum_{k = 0}^5 \frac{5^k}{k!}$.

Passando al complementare si sommano 6 termini invece di 995. Numericamente (verificato in Python):

L'errore sulla probabilità richiesta è dell'ordine di $10^{-7}$.

Somma di Poisson indipendenti

Se $X \sim \text{Poi}(\lambda)$ e $Y \sim \text{Poi}(\mu)$ sono indipendenti, $X + Y \sim \text{Poi}(\lambda + \mu)$: le chiamate di due centralini indipendenti si sommano in un unico flusso di Poisson con media somma. Dimostrazione in Somma di variabili aleatorie indipendenti (o con la Funzione caratteristica).

Riepilogo

Errori comuni

• Dimenticare $k = 0$ nelle somme: l'alfabeto parte da $0$, quindi $P(Y \le 5)$ ha sei termini.
• Scegliere $\lambda$ male: $\lambda$ è la media $np$, non $p$ né $n$.
• Usare l'approssimazione di Poisson con $p$ non piccolo (es. $\text{Bin}(100, \frac12)$): lì si usa l'approssimazione normale (Teorema del limite centrale e approssimazione normale).
• Scrivere $\lambda^k e^{-k}$: l'esponenziale è $e^{-\lambda}$, non dipende da $k$.