Varianza e momenti

Punto 2 del programma ("funzioni di v.a. e loro valore atteso: momenti e momenti centrati, varianza e sue proprietà"). Prerequisiti: Valore attesoIl valore atteso E[X] = Σ x p_X(x) è la media dei valori di X pesata con le loro probabilità (esiste se la serie converge assolutamente); per una funzione g vale E[g(X)] = Σ g(x) p_X(x) senza trovare la legge di g(X), ed E è lineare: E[aX + bY + c] = aE[X] + bE[Y] + c.Valore atteso →. Seguito: Disuguaglianze di Markov, Chebyshev e JensenMarkov: per X ≥ 0, P(X ≥ a) ≤ E[X]/a; Chebyshev: P(|X − μ| ≥ ε) ≤ Var(X)/ε²; Jensen: per φ convessa, φ(E[X]) ≤ E[φ(X)]. Stimano probabilità e medie conoscendo solo media e varianza.Disuguaglianze di Markov, Chebyshev e Jensen →, Covarianza e coefficiente di correlazione.

Perché la media non basta

Due giochi:

• $X$: si vince sempre $0$ euro, cioè $X = 0$ con probabilità $1$;
• $Y$: si vincono $10$ euro o se ne perdono $10$, con probabilità $\frac12$ ciascuno.

Entrambi hanno media $0$ ($E[Y] = 10 \cdot \frac12 - 10 \cdot \frac12 = 0$), ma sono giochi completamente diversi: il secondo è rischioso. Serve un numero che misuri quanto i valori si allontanano dalla media. L'idea naturale è la media della distanza $|X - E[X]|$, ma il modulo è scomodo nei calcoli; si usa la media del quadrato della distanza: la varianza.

Momenti

Sia $k \ge 1$ intero e $X$ una v.a. con $E[|X|^k] < \infty$.

• Il momento $k$-esimo di $X$ è $E[X^k]$.
• Il momento centrato $k$-esimo è $E[(X - \mu)^k]$, con $\mu = E[X]$.

Si calcolano col teorema fondamentale del valor medioLa media di g(X) è la somma di g(x) per la densità di X; qui g(x) = x^k oppure (x − μ)^k.Valore atteso →: per $X$ discreta $E[X^k] = \sum_x x^k p_X(x)$.

• Il momento primo è la media $\mu$. Il momento centrato primo è sempre $0$: $E[X - \mu] = \mu - \mu = 0$.
• Il momento centrato secondo è la varianza.
• Se esiste il momento $k$-esimo, esistono tutti quelli di ordine $j < k$: per ogni $x$ vale $|x|^j \le 1 + |x|^k$ (se $|x| \le 1$ il primo membro è $\le 1$, se $|x| > 1$ è $\le |x|^k$), quindi $E[|X|^j] \le 1 + E[|X|^k] < \infty$.

Momenti fattoriali. Per le leggi con fattoriali (binomiale, Poisson) conviene calcolare $E[X(X - 1)]$, perché $\frac{k(k-1)}{k!} = \frac{1}{(k-2)!}$ semplifica; poi $E[X^2] = E[X(X - 1)] + E[X]$. È il trucco usato in Bernoulli, binomiale e uniforme discretaBernoulli Be(p): un solo tentativo, vale 1 con probabilità p; binomiale Bin(n, p): numero di successi in n prove indipendenti, P(X = k) = C(n,k) p^k (1−p)^(n−k), media np e varianza np(1−p); uniforme discreta: n valori equiprobabili.Bernoulli, binomiale e uniforme discreta →, Distribuzione geometricaGeo(p) è il numero della prova in cui arriva il primo successo in prove indipendenti: P(X = n) = (1−p)^(n−1) p per n ≥ 1, P(X > n) = (1−p)^n (lunga attesa), media 1/p, varianza (1−p)/p², ed è senza memoria.Distribuzione geometrica → e Distribuzione di PoissonPoi(λ) conta eventi rari: P(X = k) = e^(−λ) λ^k / k! per k = 0, 1, 2, …, con media e varianza entrambe uguali a λ; approssima la binomiale Bin(n, p) quando n è grande e p piccolo, con λ = np.Distribuzione di Poisson →.

Varianza

Sia $X$ con $E[X^2] < \infty$ e $\mu = E[X]$. La varianza di $X$ è $$\text{Var}(X) := E[(X - \mu)^2] = \sum_x (x - \mu)^2 \, p_X(x) \quad (\text{caso discreto}).$$ La deviazione standard è $\sigma_X := \sqrt{\text{Var}(X)}$.

• La varianza si misura in unità al quadrato (euro², metri²); la deviazione standard nelle stesse unità di $X$, ed è quella che si confronta con la media.
• Nei due giochi: $\text{Var}(X) = 0$, $\text{Var}(Y) = (10 - 0)^2 \cdot \frac12 + (-10 - 0)^2 \cdot \frac12 = 100$, $\sigma_Y = 10$ euro.

Formula di calcolo

$$\text{Var}(X) = E[X^2] - E[X]^2.$$

Dimostrazione. Si sviluppa il quadrato e si usa la linearità ($\mu$ è un numero, quindi esce dalla media):

$$E[(X - \mu)^2] = E[X^2 - 2\mu X + \mu^2] = E[X^2] - 2\mu E[X] + \mu^2 = E[X^2] - 2\mu^2 + \mu^2 = E[X^2] - \mu^2. \ ∎$$

È quasi sempre la strada più rapida: si calcolano $E[X]$ ed $E[X^2]$ con la stessa tabella. Conseguenza: siccome $\text{Var}(X) \ge 0$, vale sempre $E[X^2] \ge E[X]^2$.

Esempi

Dado: $E[X^2] = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6}$, quindi $\text{Var}(X) = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{182 - 147}{12} = \frac{35}{12} \approx 2{,}92$ e $\sigma \approx 1{,}71$.

Vincita all'urna ($x \in \{-2, 1, 4\}$ con probabilità $\frac9{49}, \frac{24}{49}, \frac{16}{49}$, media $\frac{10}{7}$):

$$E[X^2] = \frac{36 + 24 + 256}{49} = \frac{316}{49}, \qquad \text{Var}(X) = \frac{316}{49} - \frac{100}{49} = \frac{216}{49} \approx 4{,}41.$$

Proprietà della varianza

1. $\text{Var}(X) \ge 0$, e $\text{Var}(X) = 0$ se e solo se $X = \mu$ con probabilità $1$.
2. $\text{Var}(aX + b) = a^2 \, \text{Var}(X)$ per ogni $a, b \in \mathbb R$.
3. $\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2\,\text{Cov}(X, Y)$; se $X$ e $Y$ sono indipendenti, $\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$.

1. È la media di un quadrato, quindi $\ge 0$. Se è $0$, nella somma $\sum_x (x - \mu)^2 p_X(x)$ tutti i termini (che sono $\ge 0$) devono essere nulli: per ogni $x \ne \mu$ deve essere $p_X(x) = 0$. Quindi l'unico valore con probabilità positiva è $\mu$.

2. La media di $aX + b$ è $a\mu + b$, quindi lo scarto dalla media è $(aX + b) - (a\mu + b) = a(X - \mu)$: la traslazione $b$ sparisce. Allora

$$\text{Var}(aX + b) = E[a^2 (X - \mu)^2] = a^2 \, \text{Var}(X).$$

Intuizione: spostare tutti i valori di $b$ non cambia quanto sono sparpagliati; moltiplicarli per $a$ allarga le distanze di $|a|$, e i quadrati di $a^2$. Il segno di $a$ non conta: $\text{Var}(-X) = \text{Var}(X)$.

3. Si vede in Covarianza e coefficiente di correlazione. Attenzione: anche per la differenza di v.a. indipendenti le varianze si sommano: $\text{Var}(X - Y) = \text{Var}(X) + (-1)^2\text{Var}(Y)$.

Esempio d'esame (I parziale 17.11.2025, III appello 24.06.2026). $X = 3Y - 2$ con $Y \sim \text{Bin}(2, \frac47)$, $\text{Var}(Y) = 2 \cdot \frac47 \cdot \frac37 = \frac{24}{49}$:

$$\text{Var}(X) = 3^2 \, \text{Var}(Y) = 9 \cdot \frac{24}{49} = \frac{216}{49}, \ \text{come nel calcolo diretto.}$$

La media come miglior previsione

Per ogni numero $c$:

$$E[(X - c)^2] = \text{Var}(X) + (\mu - c)^2.$$

(Si scrive $X - c = (X - \mu) + (\mu - c)$, si sviluppa il quadrato, e il doppio prodotto ha media $2(\mu - c)E[X - \mu] = 0$.) Quindi l'errore quadratico medio che si commette prevedendo $X$ con un numero $c$ è minimo per $c = \mu$, e il minimo è la varianza. È un'altra interpretazione: la varianza è l'errore quadratico medio della miglior previsione costante.

Standardizzazione

Se $\sigma_X > 0$, la v.a.

$$Z = \frac{X - \mu}{\sigma_X}$$

ha $E[Z] = \frac{\mu - \mu}{\sigma_X} = 0$ e $\text{Var}(Z) = \frac{1}{\sigma_X^2}\text{Var}(X) = 1$ (proprietà 2 con $a = \frac1{\sigma_X}$, $b = -\frac{\mu}{\sigma_X}$). Si chiama standardizzata di $X$: misura di quante deviazioni standard $X$ si allontana dalla media. È il passaggio chiave dell'approssimazione normale: nel I appello 15.01.2026, $Y \sim \text{Bin}(100, \frac12)$ con media $50$ e $\sigma = 5$, e si scrive $P(Y \le 47) = P\left(\frac{Y - 50}{5} \le -0{,}6\right)$ (Teorema del limite centrale e approssimazione normale).

Tabella delle leggi discrete notevoli

(La colonna $E[X^2] = \text{Var}(X) + E[X]^2$ serve negli esercizi sulla convergenza in media seconda e nelle covarianze.)

Errori comuni

• $\text{Var}(aX + b) = a\,\text{Var}(X) + b$: sbagliato due volte; la costante sparisce e $a$ va al quadrato.
• $\text{Var}(X - Y) = \text{Var}(X) - \text{Var}(Y)$: per v.a. indipendenti le varianze si sommano sempre (e una varianza negativa non esiste).
• Confondere $E[X^2]$ con $E[X]^2$: la loro differenza è proprio la varianza.
• Sommare varianze di v.a. non indipendenti senza il termine di covarianza.
• Dimenticare la radice quando si chiede la deviazione standard (serve nella standardizzazione: si divide per $\sigma$, non per $\sigma^2$).