Esercizio - Effetto causale medio della medicina con il criterio backdoor (esempio d'esame 1)

Teoria: Interventi e operatore do - criterio backdoor e aggiustamentoOsservare $X=x$ e forzare $X=x$ sono cose diverse: $P(y\mid x)\ne P(y\mid do(x))$ quando c'è un confondente. L'intervento $do(X=x)$ si calcola con la «chirurgia» del grafo (si tolgono le frecce entranti in X) e si traduce in probabilità osservazionali con la formula di aggiustamento $P(y\mid do(x))=\sum_z P(y\mid x,z)P(z)$, dove $Z$ sono i genitori di X, o più in generale un insieme S che soddisfa il criterio backdoor: blocca ogni cammino backdoor (cammino da X a Y che inizia con una freccia entrante in X) e non contiene discendenti di X. Effetto causale medio $ACE=P(y\mid do(x))-P(y\mid do(\neg x))$. Se il confondente non è osservabile ma c'è un mediatore Z con X→Z→Y, vale il front-door $P(y\mid do(x))=\sum_z P(z\mid x)\sum_{x'}P(y\mid x',z)P(x')$. Mediazione: effetto diretto controllato CDE con $do(x),do(z)$. Se due insiemi backdoor danno risultati diversi sui dati, il modello è sbagliato. Argomento del corso da 9 CFU.Interventi e operatore do - criterio backdoor e aggiustamento → e Inferenza causale - modelli causali strutturali e scala della causalitàI dati e la distribuzione congiunta da soli non dicono quali variabili causano quali: lo mostrano il paradosso di Simpson (la medicina funziona in ogni sottogruppo ma sembra peggiorare la popolazione) e il fatto che reti bayesiane diverse (A→B e B→A) descrivono la stessa congiunta. Serve un modello causale: un modello causale strutturale (SCM) ha variabili esogene U, endogene V e funzioni $v_i=f_i(\text{genitori},u_i)$; il suo grafo è la rete causale, e una rete causale è una rete bayesiana in cui le frecce sono cause. Le tre strutture elementari decidono l'indipendenza: catena $A\to B\to C$ e fork $A\leftarrow B\to C$ si bloccano osservando B, il collider $A\to B\leftarrow C$ si blocca se B e i suoi discendenti NON sono osservati (osservarlo crea dipendenza, explaining away). d-separazione: X e Y sono separati da Z se ogni cammino è bloccato; allora $X\perp!!!\perp Y\mid Z$. La scala della causalità (Pearl): associazione $P(y\mid x)$, intervento $P(y\mid do(x))$, controfattuali. Argomento del corso da 9 CFU.Inferenza causale - modelli causali strutturali e scala della causalità →. Domanda 2 del quiz da 9 CFU (risposta numerica, solo versione da 9 CFU: la causale è fuori dal programma da 6).

Testo. Il modello causale grafico ha $X$ = assunzione della medicina, $Y$ = guarigione, $A$ = volontà di curarsi, $B$ = presenza di un potenziale effetto collaterale. Tutte le variabili sono binarie e $B$ è l'unica non osservabile. Archi (figura): $A\to X$, $A\to Y$, $X\to Y$, $X\to B$, $Y\to B$.

$P(A=0)=0{,}5$; $P(X=0\mid A=0)=0{,}3$; $P(X=0\mid A=1)=0{,}5$; $P(Y=0\mid A=0,X=0)=0{,}4$; $P(Y=0\mid A=0,X=1)=0{,}7$; $P(Y=0\mid A=1,X=0)=0{,}6$; $P(Y=0\mid A=1,X=1)=0{,}6$.

Con $X=1$ se il paziente prende la medicina e $Y=1$ se guarisce, calcolare l'effetto causale medio (ACE) della medicina sulla guarigione. Formule date: backdoor, $P(y\mid do(x))=\sum_s P(y\mid x,s)P(s)$ con $S$ che soddisfa il criterio backdoor; front-door, $P(y\mid do(x))=\sum_s P(s\mid x)\sum_{x'}P(y\mid x',s)P(x')$ con $S$ che soddisfa il criterio front-door.

Scelta del metodo

• Cammini tra $X$ e $Y$. $X\to Y$ (diretto). $X\leftarrow A\to Y$: cammino backdoor (entra in $X$), aperto, perché $A$ è una biforcazione: $A$ è un confondente. $X\to B\leftarrow Y$: esce da $X$, quindi non è backdoor, ed è già bloccato dal collider $B$.
• Insieme di aggiustamento. $S=\{A\}$ blocca il cammino backdoor e non contiene discendenti di $X$: soddisfa il criterio. $B$ non può entrare: è discendente di $X$ e collider, condizionare su $B$ aprirebbe $X\to B\leftarrow Y$ e distorcerebbe l'effetto. È anche non osservabile, quindi non serve la formula front-door, che richiede una variabile mediatrice $X\to M\to Y$: qui $B$ non è sul cammino da $X$ a $Y$ (la formula (2) è un distrattore).

Calcolo

$P(Y=1\mid A,X)=1-P(Y=0\mid A,X)$:

$P(A=1)=1-0{,}5=0{,}5$. Con la formula backdoor:

$$P(Y=1\mid do(X=1))=0{,}3\cdot0{,}5+0{,}4\cdot0{,}5=0{,}35,\qquad P(Y=1\mid do(X=0))=0{,}6\cdot0{,}5+0{,}4\cdot0{,}5=0{,}50.$$

$$\text{ACE}=P(Y=1\mid do(X=1))-P(Y=1\mid do(X=0))=0{,}35-0{,}50=\mathbf{-0{,}15}.$$

La medicina riduce di 15 punti percentuali la probabilità di guarire (nei pazienti con $A=0$ la abbassa da $0{,}6$ a $0{,}3$, in quelli con $A=1$ non cambia nulla). Le probabilità $P(X\mid A)$ non servono per l'aggiustamento: servono solo per la differenza non aggiustata.

Perché le altre strategie sbagliano

• Nessun aggiustamento (differenza osservazionale): $P(A=0,X=1)=0{,}5\cdot0{,}7=0{,}35$ e $P(A=1,X=1)=0{,}25$, $P(X=1)=0{,}6$, quindi $P(Y=1\mid X=1)=\tfrac{0{,}35\cdot0{,}3+0{,}25\cdot0{,}4}{0{,}6}=0{,}3417$. Analogamente $P(A=0,X=0)=0{,}15$, $P(A=1,X=0)=0{,}25$, $P(X=0)=0{,}4$ e $P(Y=1\mid X=0)=\tfrac{0{,}15\cdot0{,}6+0{,}25\cdot0{,}4}{0{,}4}=0{,}475$. Differenza $-0{,}1333\ne-0{,}15$: chi prende la medicina ha una composizione di $A$ diversa ($P(A=0\mid X=1)=0{,}583$ contro $0{,}375$ tra chi non la prende), quindi il confronto è confuso da $A$.
• Aggiustare su $B$ (o su $\{A,B\}$): impossibile ($B$ non osservabile) e sbagliato, per il collider.
• Formula front-door: manca il mediatore.

pA1 = 0.5
py1 = {(0, 0): .6, (0, 1): .3, (1, 0): .4, (1, 1): .4}                   # P(Y=1 | A, X)
do = lambda x: sum(py1[(a, x)] * (pA1 if a else 1 - pA1) for a in (0, 1))
print(do(1), do(0), do(1) - do(0))                                       # 0.35 0.5 -0.15