Interventi e operatore do - criterio backdoor e aggiustamento

Argomento del corso da 9 CFU. Prerequisiti: Inferenza causale - modelli causali strutturali e scala della causalitàI dati e la distribuzione congiunta da soli non dicono quali variabili causano quali: lo mostrano il paradosso di Simpson (la medicina funziona in ogni sottogruppo ma sembra peggiorare la popolazione) e il fatto che reti bayesiane diverse (A→B e B→A) descrivono la stessa congiunta. Serve un modello causale: un modello causale strutturale (SCM) ha variabili esogene U, endogene V e funzioni $v_i=f_i(\text{genitori},u_i)$; il suo grafo è la rete causale, e una rete causale è una rete bayesiana in cui le frecce sono cause. Le tre strutture elementari decidono l'indipendenza: catena $A\to B\to C$ e fork $A\leftarrow B\to C$ si bloccano osservando B, il collider $A\to B\leftarrow C$ si blocca se B e i suoi discendenti NON sono osservati (osservarlo crea dipendenza, explaining away). d-separazione: X e Y sono separati da Z se ogni cammino è bloccato; allora $X\perp!!!\perp Y\mid Z$. La scala della causalità (Pearl): associazione $P(y\mid x)$, intervento $P(y\mid do(x))$, controfattuali. Argomento del corso da 9 CFU.Inferenza causale - modelli causali strutturali e scala della causalità → (SCM, d-separazione) e Formula delle probabilità totali e formula di BayesSe (A_i) è una partizione di Ω, P(B) = Σ P(B ∣ A_i) P(A_i) (probabilità totali); la formula di Bayes inverte il condizionamento: P(A_k ∣ B) = P(B ∣ A_k) P(A_k) / P(B).Formula delle probabilità totali e formula di Bayes →. Segue Controfattuali e scoperta causaleUn controfattuale chiede «cosa sarebbe successo a questo individuo se X fosse stato x?»: $Y_x(u)$ è il valore di Y nel modello $M_x$ (equazione di X sostituita da X=x) con le esogene fissate al valore $u$ dell'individuo. Si calcola in tre passi: abduzione (aggiornare $P(U)$ con l'evidenza, nel caso deterministico ricavare $u$ dai dati), azione (sostituire l'equazione di X con la costante), predizione (calcolare Y in $M_x$). Differenza con gli interventi: $P(Y\mid do(x))\equiv P(Y_x)$ è a livello di popolazione, ma in generale $P(Y\mid do(x),z)\ne P(Y_x\mid z)$ perché nel secondo il condizionamento è prima dell'intervento. Nei modelli lineari gaussiani i coefficienti di regressione di ogni variabile sui suoi genitori sono i coefficienti strutturali, e l'effetto causale totale è la somma dei prodotti dei coefficienti lungo i cammini non backdoor. Scoperta causale (algoritmo PC): si parte dal grafo completo non orientato, si toglie ogni arco X−Y con $X\perp!!!\perp Y\mid Z$ a $|Z|$ crescente (test di Fisher), si orientano i collider (Z mai nell'insieme separatore), poi si propaga l'orientamento; catena e fork non sono distinguibili (stessa classe di equivalenza di Markov). Assunzioni: aciclicità, sufficienza, Markov, fedeltà. Argomento del corso da 9 CFU.Controfattuali e scoperta causale →.

1. Osservare non è intervenire

Un esempio: incidenti stradali. L'ubriachezza $Z$ e la velocità $X$ sono cause di incidente $Y$; inoltre chi è ubriaco tende ad andare più forte ($Z\to X$).

Qual è la probabilità che andare forte da solo causi un incidente? $P(y\mid x)$ non la dà: tra i guidatori veloci ci sono molti ubriachi, quindi $P(y\mid x)$ include un'influenza spuria di $Z$. Serve la probabilità di $Y$ se si fa $X$, non solo se lo si osserva: $$P(y\mid do(x))\ne P(y\mid x).$$

Definizione (operatore do). $do(X=x)$ indica che si forza $X$ al valore $x$ (per esempio con un esperimento), indipendentemente da ciò che $X$ avrebbe fatto spontaneamente. $P(Y=y\mid do(X=x))$ è la probabilità di $y$ nel mondo in cui $X$ è stato imposto.

Nei dati le due operazioni sono diverse:

• condizionare $Y$ a $X=x$ significa selezionare le righe in cui si osserva $X=x$;
• intervenire significa riscrivere l'intera colonna $X$ con il valore $x$, e questo cambia la tabella.

Esempio (sprinkler, 10 righe). La tabella della slide ha 5 righe con irrigatore acceso, di cui 2 con erba bagnata: $P(\text{bagnata}\mid\text{irrigatore acceso})=2/5=0.4$. Ma $do(\text{Sprinkler}=\text{vero})$ forza tutte le 10 righe ad avere l'irrigatore acceso, scenario molto diverso: in particolare non si guarda più se era nuvoloso, che di solito spegne l'irrigatore.

Con le tabelle dello sprinkler dei laboratori: $P(g\mid s)=0.911$, mentre $P(g\mid do(s))=0.9225$ (calcolo al paragrafo 3).

2. La chirurgia del grafo

Definizione (intervento come chirurgia). L'intervento $do(X=x)$ trasforma l'SCM $M$ in un modello $M_x$ in cui la funzione di $X$ è sostituita dalla costante $X=x$ e tutte le frecce entranti in $X$ sono tolte. Le altre funzioni restano invariate. Si ha $$P(y\mid do(x))=P_{M_x}(y\mid x).$$

Ragione: se forzo $X$, il valore di $X$ non dipende più dai suoi genitori ($C$ non influenza più $S$) ma $X$ continua a influenzare i suoi figli ($S\to W$ resta).

Equivalente in termini di probabilità: la congiunta della rete è il prodotto delle tabelle $P(v\mid\text{pa}(v))$; dopo l'intervento si toglie il fattore di $X$ e si pone $X=x$ negli altri: $$P(c,r,w\mid do(S=\text{vero}))=P(c)\,P(r\mid c)\,P(w\mid S=\text{vero},r).$$

Tre regole pratiche (laboratorio 8) per capire se l'intervento su $X$ ha effetto su $Y$:

1. $X$ può avere effetto su $Y$ solo se esiste almeno un cammino orientato da $X$ a $Y$. Altrimenti, nel grafo dopo l'intervento ($X$ senza genitori) $X\perp\!\!\!\perp Y$.
2. Se tra $X$ e $Y$ ci sono solo cammini orientati, $P(y\mid do(x))=P(y\mid x)$: il grafo dopo la chirurgia ha gli stessi cammini del grafo originale.
3. Se esiste un cammino non completamente orientato e non bloccato, $X$ e $Y$ hanno un antenato comune (confondente) e stimare $P(y\mid do(x))$ con $P(y\mid x)$ dà una stima distorta.

Le probabilità condizionate tra due variabili non toccate dall'intervento non cambiano: nel modello a cinque variabili del laboratorio 8 (nuvoloso, pioggia, irrigatore, bagnato, scivoloso) $P(\text{scivoloso}\mid\text{bagnato})$ resta uguale dopo un intervento sulla pioggia, mentre $P(\text{scivoloso}\mid\text{nuvoloso})$ no (il cammino nuvoloso → pioggia → bagnato è stato tagliato).

3. Formula di aggiustamento

Si vuole calcolare $P(y\mid do(x))$ a partire dalle probabilità osservazionali, cioè «togliere» il $do$. Nel modello degli incidenti ($Z\to X$, $Z\to Y$, $X\to Y$), con valori $x,y,z$:

$$\begin{aligned} P(y\mid do(x))&=P_m(y\mid x)&&\text{definizione di intervento}\\ &=\sum_zP_m(y\mid x,z)\,P_m(z\mid x)&&\text{probabilità totale sui valori di }Z\\ &=\sum_zP_m(y\mid x,z)\,P_m(z)&&X\perp\!\!\!\perp Z\text{ in }m\text{ (freccia }Z\to X\text{ tolta)}\\ &=\sum_zP(y\mid x,z)\,P(z)&&\text{le due uguaglianze sotto} \end{aligned}$$

L'ultimo passaggio usa due fatti: $P_m(z)=P(z)$ (la chirurgia non cambia la distribuzione di $Z$, che non ha frecce toccate) e $P_m(y\mid x,z)=P(y\mid x,z)$ (la funzione di $Y$ è intatta, e dati $x$ e $z$ il valore di $Y$ dipende solo da loro).

Formula di aggiustamento (regola dell'effetto causale). $$P(y\mid do(x))=\sum_{z\in\Lambda}P(y\mid x,z)\,P(z),$$ con $\Lambda$ l'insieme dei genitori di $X$.

È la media dei valori $P(y\mid x,z)$ pesata con la frequenza di $z$ nella popolazione intera, e non con la frequenza di $z$ tra chi ha $X=x$ (la differenza è proprio il confondente: nei dati osservati $P(z\mid x)$ cambia con $x$).

Esempio (sprinkler, laboratorio 7). $P(g\mid do(r))$: l'unico genitore di $R$ è $C$. $$P(g\mid do(r))=P(g\mid r,c)P(c)+P(g\mid r,\neg c)P(\neg c).$$ $P(c)=0.5$ è nella rete. $P(G\mid r,c)$ si ottiene con l'enumerazione (Reti bayesiane - semantica, indipendenze e inferenza esattaUna rete bayesiana è un grafo diretto aciclico (DAG) con una variabile per nodo e una tabella delle probabilità condizionate (CPT) $P(X_i\mid\text{Parents}(X_i))$ per nodo; rappresenta la congiunta come prodotto $P(x_1,\dots,x_n)=\prod_i P(x_i\mid\text{parents}(X_i))$, con molti meno numeri della tabella completa (rete dell'allarme: 10 contro 31). Tre strutture elementari: catena $X\to Y\to Z$ e fork $Y\leftarrow X\to Z$ (estremi indipendenti dato il centro), collider $X\to Z\leftarrow Y$ (indipendenti, ma dipendenti se si osserva $Z$ o un suo discendente). Modelli causali (genitori = cause) danno reti più piccole. Inferenza esatta per enumerazione: $\mathbf P(X\mid\mathbf e)=\alpha\sum_{\mathbf y}\mathbf P(X,\mathbf e,\mathbf y)$ calcolata come somma di prodotti, in profondità e da sinistra a destra; per l'allarme $\mathbf P(B\mid j,m)=\langle0{,}284;\ 0{,}716\rangle$. Molti prodotti si ripetono: l'eliminazione di variabili li salva come fattori e li riusa.Reti bayesiane - semantica, indipendenze e inferenza esatta →), sommando sulla variabile nascosta $S$: $$\mathbf P(G\mid r,c)=\alpha\sum_s P(c)P(r\mid c)P(s\mid c)\mathbf P(G\mid r,s)=\alpha'\big[P(s\mid c)\mathbf P(G\mid r,s)+P(\neg s\mid c)\mathbf P(G\mid r,\neg s)\big]$$ (il prodotto $P(c)P(r\mid c)$ non dipende da $s$ e finisce nel fattore di normalizzazione $\alpha'$). Con le tabelle: $\mathbf P(G\mid r,c)=0.1\langle0.95,0.05\rangle+0.9\langle0.90,0.10\rangle=\langle0.905,0.095\rangle$ e $\mathbf P(G\mid r,\neg c)=0.5\langle0.95,0.05\rangle+0.5\langle0.90,0.10\rangle=\langle0.925,0.075\rangle$. Quindi $$P(g\mid do(r))=0.905\cdot0.5+0.925\cdot0.5=\mathbf{0.915}.$$ Si confronti con $P(g\mid r)=0.907$ osservazionale. Il calcolo completo con il codice è in Esercizio - Effetto causale di pioggia e irrigatore sul prato bagnato (laboratorio 7), la versione con pyAgrum in Esercizio - Effetto causale della pioggia con pyAgrum (esempio sprinkler). Verificato anche simulando l'SCM dello sprinkler con un milione di campioni: $0.915$.

Effetto causale medio (ACE)

Definizione (ACE). Per un trattamento $X\in\{1,0\}$ e un esito $Y=1$, $$ACE=P(Y=1\mid do(X=1))-P(Y=1\mid do(X=0)).$$ $ACE>0$: il trattamento ha effetto positivo; $ACE<0$ negativo; $ACE=0$ neutro.

Esempio (Simpson). Il grafo è quello degli incidenti con $X$ medicina, $Y$ guarigione, $Z$ sesso. $P(Z=1)=(87+270)/700=0.51$ (uomini), $0.49$ donne. $$\begin{aligned}P(Y{=}1\mid do(X{=}1))&=0.93\cdot0.51+0.73\cdot0.49=0.832,\\ P(Y{=}1\mid do(X{=}0))&=0.87\cdot0.51+0.69\cdot0.49=0.7818,\end{aligned}$$ $ACE=0.0502>0$: la medicina migliora la guarigione, in accordo con i sottogruppi e in contrasto con il dato aggregato $78\%<83\%$. Le slide usano percentuali arrotondate; con le frazioni esatte ($81/87$, ecc.) si ottiene $0.8325-0.7789=0.0537$. Svolto in Esercizio - Paradosso di Simpson ed effetto causale della medicina (slide del corso) e, con pyAgrum e un secondo insieme di dati, in Esercizio - Paradosso di Simpson con pyAgrum (laboratorio 7).

Esempio (sprinkler). ACE dell'irrigatore su $g$: $P(g\mid do(s))=0.9225$, $P(g\mid do(\neg s))=0.46$, $ACE=0.4625$; per la pioggia $0.915-0.34=0.575$.

4. Confondenti non osservati: cammini backdoor

Il confondente $Z$ non è sempre osservabile (il sesso dei pazienti, l'alcol dei guidatori): non si può aggiustare su $Z$ e l'effetto causale resta confuso con la correlazione spuria. Ma altre variabili possono bloccare il cammino.

Definizione (cammino backdoor). Un cammino backdoor tra $X$ e $Y$ è un qualunque cammino da $X$ a $Y$ che inizia con una freccia entrante in $X$ (passa per i genitori di $X$). Si blocca condizionando su una catena o un fork, oppure è già bloccato da un collider non condizionato (d-separazione: Inferenza causale - modelli causali strutturali e scala della causalitàI dati e la distribuzione congiunta da soli non dicono quali variabili causano quali: lo mostrano il paradosso di Simpson (la medicina funziona in ogni sottogruppo ma sembra peggiorare la popolazione) e il fatto che reti bayesiane diverse (A→B e B→A) descrivono la stessa congiunta. Serve un modello causale: un modello causale strutturale (SCM) ha variabili esogene U, endogene V e funzioni $v_i=f_i(\text{genitori},u_i)$; il suo grafo è la rete causale, e una rete causale è una rete bayesiana in cui le frecce sono cause. Le tre strutture elementari decidono l'indipendenza: catena $A\to B\to C$ e fork $A\leftarrow B\to C$ si bloccano osservando B, il collider $A\to B\leftarrow C$ si blocca se B e i suoi discendenti NON sono osservati (osservarlo crea dipendenza, explaining away). d-separazione: X e Y sono separati da Z se ogni cammino è bloccato; allora $X\perp!!!\perp Y\mid Z$. La scala della causalità (Pearl): associazione $P(y\mid x)$, intervento $P(y\mid do(x))$, controfattuali. Argomento del corso da 9 CFU.Inferenza causale - modelli causali strutturali e scala della causalità →).

Definizione (criterio backdoor). Un insieme $S$ di variabili soddisfa il criterio backdoor per $(X,Y)$ se

1. blocca ogni cammino backdoor tra $X$ e $Y$;
2. non contiene alcun discendente di $X$.

La seconda condizione impedisce di condizionare su conseguenze di $X$ (che assorbirebbero parte dell'effetto o aprirebbero nuovi cammini).

Nel grafo della figura l'unico cammino backdoor è $X\leftarrow B\to C\leftarrow D\to Y$. Insiemi validi: $\{\}$ (il collider $C$ blocca già il cammino), $\{B\}$, $\{D\}$, $\{B,D\}$, $\{B,C\}$, $\{C,D\}$, $\{B,C,D\}$. Non validi: $\{C\}$ da solo (condizionare sul collider apre il cammino) e qualunque insieme con $A$ (discendente di $X$). Svolto con il codice in Esercizio - Cammini backdoor e insiemi di aggiustamento validi (laboratorio 8).

Formula di aggiustamento con il criterio backdoor. Se $S$ soddisfa il criterio backdoor, $$P(y\mid do(x))=\sum_sP(y\mid x,s)\,P(s),$$ con $s$ che varia su tutte le combinazioni di valori delle variabili di $S$.

Generalizza la formula con i genitori (l'insieme $\Lambda$ la soddisfa sempre).

Esempi della lezione

Variabili booleane salvo dove detto; i confondenti non osservati sono indicati esplicitamente.

1. $Z\to X$, $Z\to W\to Y$, $X\to Y$; $Z$ non osservato. Un cammino backdoor $X\leftarrow Z\to W\to Y$; insiemi validi $\{Z\},\{W\},\{Z,W\}$. Se si osserva solo $W$: $$P(y\mid do(x))=P(y\mid x,w)P(w)+P(y\mid x,\neg w)P(\neg w).$$
2. $Z\to X$, $Z\to W\leftarrow Y$, $X\to Y$ (collider in $W$). Cammino $X\leftarrow Z\to W\leftarrow Y$; validi $\{\}$ e $\{Z\}$ ($\{W\}$ no: apre il collider ed è un discendente di $X$ tramite $X\to Y\to W$). Con $\{\}$: $P(y\mid do(x))=P(y\mid x)$, perché togliere la freccia $Z\to X$ non influenza $Y$.
3. $A\to X$, $A\to B\to Y$, $C\to X$, $C\to Y$, $X\to Y$; $C$ a tre valori. Backdoor: $X\leftarrow A\to B\to Y$ e $X\leftarrow C\to Y$. Validi: $\{A,C\},\{B,C\},\{A,B,C\}$. Se si osserva $\{A,C\}$: $$P(y\mid do(x))=\sum_{i\in A}\sum_{j\in C}P(y\mid x,i,j)P(i,j)$$ (sei termini: $a,\neg a$ per $c_1,c_2,c_3$).
4. $A\to X$, $A\to B$, $B\to X$, $B\to Y$, $C\to B$, $C\to Y$, $X\to Z\to Y$; $A$ non osservato. Quattro cammini backdoor: $X\leftarrow A\to B\to Y$, $X\leftarrow A\to B\leftarrow C\to Y$, $X\leftarrow B\to Y$, $X\leftarrow B\leftarrow C\to Y$. Validi: $\{A,B\},\{B,C\},\{A,B,C\}$; con $A$ non osservato resta $\{B,C\}$ e $$P(y\mid do(x))=\sum_{i\in B}\sum_{j\in C}P(y\mid x,i,j)P(i,j)$$ (quattro termini). Nota che $\{B\}$ da solo non basta: condizionare sul collider $B$ nel cammino $X\leftarrow A\to B\leftarrow C\to Y$ lo apre, e serve $C$ (o $A$) per richiuderlo.

Tutti gli insiemi elencati sono stati verificati con una piccola funzione che enumera i cammini e applica il criterio (lo stesso controllo dell'esercizio del laboratorio 8). L'esempio 1 e l'esempio 2, con numeri e simulazione, sono in Esercizio - Aggiustamento backdoor con un confondente non osservato e con un collider (slide del corso).

Verifica del modello. Se più insiemi bloccano i cammini backdoor (per esempio $\{Z\}$ e $\{W\}$ nell'esempio 1), la formula deve dare lo stesso $P(y\mid do(x))$ con entrambi. Se con i dati reali i due risultati sono diversi, il modello causale è sbagliato: non è coerente con i dati. È un test per scartare ipotesi sul mondo.

5. Front-door

Se nessun confondente è osservabile ma tra $X$ e $Y$ c'è una variabile intermedia, si può comunque stimare l'effetto. Esempio: fumo $X$ → catrame nei polmoni $Z$ → cancro $Y$, con il «gene del fumo» $U$ non osservato causa comune di $X$ e $Y$.

Si applica il criterio backdoor due volte e si combina:

• $X\to Z$: nessun cammino backdoor aperto (l'unico, $X\leftarrow U\to Y\leftarrow Z$, ha il collider $Y$), quindi $P(z\mid do(x))=P(z\mid x)$;
• $Z\to Y$: il cammino backdoor $Z\leftarrow X\leftarrow U\to Y$ è bloccato da $X$, quindi $P(y\mid do(z))=\sum_{x'}P(y\mid z,x')P(x')$;
• $P(y\mid do(x))=\sum_zP(y\mid do(z))P(z\mid do(x))$ (probabilità totale su $Z$).

Formula front-door. $$P(y\mid do(x))=\sum_zP(z\mid x)\sum_{x'}P(y\mid z,x')\,P(x').$$ Criterio: $S$ soddisfa il front-door per $(X,Y)$ se (1) blocca ogni cammino diretto da $X$ a $Y$; (2) non ci sono cammini backdoor non bloccati da $X$ a $S$; (3) tutti i cammini backdoor da $S$ a $Y$ sono bloccati da $X$. L'espressione non dipende da $U$.

Esempi (slide): $X\to Z\to Y$ con $U$: $\{Z\}$; $X\to A\to B\to Y$: $\{A\},\{B\},\{A,B\}$; $X\to A\to Y$ e $X\to B\to Y$: serve $\{A,B\}$ (un solo mediatore lascia aperto l'altro cammino diretto); se $U$ è causa anche di $Z$: impossibile, perché il cammino backdoor da $Z$ a $Y$ ($Z\leftarrow U\to Y$) non è bloccato da $X$. Con i dati del laboratorio 8 (400 fumatori, 400 non fumatori) si ottiene $P(y\mid do(x))=0.5475$: Esercizio - Aggiustamento front-door ed effetto del fumo sul cancro (laboratorio 8).

6. Mediazione: effetto diretto e indiretto

Spesso si vuole separare l'effetto diretto ($X\to Y$) da quello indiretto o mediato ($X\to Z\to Y$). Esempio: $X$ genere del candidato, $Z$ qualifiche, $Y$ assunzione. Per isolare l'effetto diretto di $X$ si potrebbe condizionare su $Z$: $P(y\mid do(x),z)-P(y\mid do(x^*),z)$. Ma non sempre si può: se esiste anche $W$ = reddito con $W\to Z$ e $W\to Y$, condizionare su $Z$ (collider in $X\to Z\leftarrow W$) crea una dipendenza spuria tra $X$ e $W$, quindi tra $X$ e $Y$.

Si interviene invece anche sul mediatore e si definisce l'effetto diretto controllato.

Definizione (CDE). Per un valore fissato $z$: $$CDE(z)=P(y\mid do(x),do(z))-P(y\mid do(x^*),do(z)).$$ L'effetto diretto medio (ADE) si ottiene mediando i $CDE$ sui valori di $Z$.

Si risolve il doppio $do$ nel grafo con $W$: $$P(y\mid do(x),do(z))=P(y\mid x,do(z))=\sum_wP(y\mid x,z,w)P(w).$$ Primo passaggio: $do(x)\to x$ perché non ci sono cammini backdoor da $X$ a $Y$. Secondo: per $do(z)$ ci sono due cammini backdoor da $Z$ a $Y$, uno chiuso dal condizionamento $X=x$ ($Z\leftarrow X\to Y$), l'altro ($Z\leftarrow W\to Y$) da chiudere aggiustando su $W$. Dunque $$CDE(z)=\sum_w\big[P(y\mid x,z,w)-P(y\mid x^*,z,w)\big]P(w).$$

Condizione generale. Il $CDE$ di $X$ su $Y$ mediato da $Z$ si calcola se (1) esiste un insieme $S_1$ che blocca tutti i cammini backdoor da $Z$ a $Y$; (2) esiste un insieme $S_2$ che blocca tutti i cammini backdoor da $X$ a $Y$ dopo aver tolto le frecce entranti in $Z$. Con $S=\{S_1,S_2\}$: $P(y\mid do(x),do(z))=\sum_sP(y\mid x,z,s)P(s)$.

Verifica numerica (SCM booleano con tabelle inventate da me, $P(x)=0.5$, $P(w)=0.4$): la formula dà $CDE(z{=}0)=0.130$ e $CDE(z{=}1)=0.260$, esattamente come il calcolo dal modello strutturale. Condizionare su $Z$ senza aggiustare su $W$ darebbe $0.113$ e $0.200$: errore dovuto al collider.

7. Librerie

Nei laboratori si usano due librerie; qui i numeri dei laboratori sono ricalcolati con numpy.

# pyAgrum: modello bayesiano + CausalModel, calcolo di P(Y | do(X))
import pyagrum as gum, pyagrum.causal as csl, pyagrum.causal.notebook as cslnb
m = gum.fastBN("Cloudy{T|F}->Rain{T|F}->GrassWet{T|F}<-Sprinkler{T|F}<-Cloudy")
d = csl.CausalModel(m)
cslnb.getCausalImpact(d, "GrassWet", doing="Rain", values={"Rain": "T"})   # P(GrassWet | do(Rain=T))

# CausalGraphicalModels: solo la struttura del grafo (nessuna probabilità)
from causalgraphicalmodels import CausalGraphicalModel
g = CausalGraphicalModel(nodes=["X", "Y", "Z", "W"],
                         edges=[("X", "Y"), ("Z", "X"), ("Z", "W"), ("W", "Y")])
g.get_all_backdoor_paths("X", "Y")                 # [['X','Z','W','Y']]
g.get_all_backdoor_adjustment_sets("X", "Y")       # insiemi validi
g.do("X").draw()                                   # grafo dopo la chirurgia
# latent_edges=[("X","Y")] aggiunge una causa comune non osservata
# g.get_all_frontdoor_adjustment_sets("X", "Y")

pyAgrum calcola $P(y\mid do(x))$ trovando da solo un insieme di aggiustamento (lo scrive nella spiegazione: backdoor ['Gender'] found); CausalGraphicalModels non ha probabilità e dice solo quali insiemi sono validi, come nei calcoli a mano sopra.

Domande d'esame

1. $P(y\mid x)$ e $P(y\mid do(x))$ sono uguali quando? Quando non ci sono cammini backdoor non bloccati (nessun confondente), per esempio quando tra $X$ e $Y$ ci sono solo cammini orientati.
2. Calcola $P(y\mid do(x))$ per $Z\to X$, $Z\to Y$, $X\to Y$ con $P(z)=0.4$, $P(y\mid x,z)=0.9$, $P(y\mid x,\neg z)=0.5$. $0.9\cdot0.4+0.5\cdot0.6=0.66$ (si pesa con $P(z)$, non con $P(z\mid x)$).
3. Nel grafo $X\to Y$, $B\to X$, $B\to C\leftarrow D$, $D\to Y$, $\{C\}$ è un insieme backdoor valido? No: $C$ è un collider e condizionarci apre il cammino $X\leftarrow B\to C\leftarrow D\to Y$.
4. Quando si usa il front-door? Quando il confondente non è osservato ma c'è un mediatore $Z$ che intercetta tutti i cammini diretti $X\to Y$, senza backdoor $X\to Z$ e con i backdoor $Z\to Y$ bloccati da $X$: $P(y\mid do(x))=\sum_zP(z\mid x)\sum_{x'}P(y\mid z,x')P(x')$.