Esercizio - Modello causale strutturale e insiemi backdoor (esempio d'esame 2)

Teoria: Interventi e operatore do - criterio backdoor e aggiustamentoOsservare $X=x$ e forzare $X=x$ sono cose diverse: $P(y\mid x)\ne P(y\mid do(x))$ quando c'è un confondente. L'intervento $do(X=x)$ si calcola con la «chirurgia» del grafo (si tolgono le frecce entranti in X) e si traduce in probabilità osservazionali con la formula di aggiustamento $P(y\mid do(x))=\sum_z P(y\mid x,z)P(z)$, dove $Z$ sono i genitori di X, o più in generale un insieme S che soddisfa il criterio backdoor: blocca ogni cammino backdoor (cammino da X a Y che inizia con una freccia entrante in X) e non contiene discendenti di X. Effetto causale medio $ACE=P(y\mid do(x))-P(y\mid do(\neg x))$. Se il confondente non è osservabile ma c'è un mediatore Z con X→Z→Y, vale il front-door $P(y\mid do(x))=\sum_z P(z\mid x)\sum_{x'}P(y\mid x',z)P(x')$. Mediazione: effetto diretto controllato CDE con $do(x),do(z)$. Se due insiemi backdoor danno risultati diversi sui dati, il modello è sbagliato. Argomento del corso da 9 CFU.Interventi e operatore do - criterio backdoor e aggiustamento → e Inferenza causale - modelli causali strutturali e scala della causalitàI dati e la distribuzione congiunta da soli non dicono quali variabili causano quali: lo mostrano il paradosso di Simpson (la medicina funziona in ogni sottogruppo ma sembra peggiorare la popolazione) e il fatto che reti bayesiane diverse (A→B e B→A) descrivono la stessa congiunta. Serve un modello causale: un modello causale strutturale (SCM) ha variabili esogene U, endogene V e funzioni $v_i=f_i(\text{genitori},u_i)$; il suo grafo è la rete causale, e una rete causale è una rete bayesiana in cui le frecce sono cause. Le tre strutture elementari decidono l'indipendenza: catena $A\to B\to C$ e fork $A\leftarrow B\to C$ si bloccano osservando B, il collider $A\to B\leftarrow C$ si blocca se B e i suoi discendenti NON sono osservati (osservarlo crea dipendenza, explaining away). d-separazione: X e Y sono separati da Z se ogni cammino è bloccato; allora $X\perp!!!\perp Y\mid Z$. La scala della causalità (Pearl): associazione $P(y\mid x)$, intervento $P(y\mid do(x))$, controfattuali. Argomento del corso da 9 CFU.Inferenza causale - modelli causali strutturali e scala della causalità →. Esercizi collegati: Esercizio - Cammini backdoor e insiemi di aggiustamento validi (laboratorio 8). Domanda 5 del quiz da 9 CFU (scelta multipla con più risposte giuste; la causale non è nel programma da 6 CFU).

Testo. Dato il seguente Structural Causal Model, dove $U_1,\dots,U_5$ sono variabili esogene e tutte le altre endogene: $$X=A+B+U_1,\quad A=U_2,\quad B=U_3,\quad C=A+U_4,\quad Y=X+B+C+U_5.$$ Identificare tutti i sottoinsiemi di variabili che soddisfano il criterio backdoor per l'effetto della causa $X$ sul risultato $Y$. Opzioni: $\{A,B,C\}$; $\{B\}$; $\{\ \}$ (insieme vuoto); $\{B,C\}$; $\{A,C\}$; $\{A,B\}$.

Soluzione

Dal modello al grafo. Ogni variabile endogena ha come genitori le variabili che compaiono a destra: $A\to X$, $B\to X$, $A\to C$, $X\to Y$, $B\to Y$, $C\to Y$ (le $U$ sono rumore esogeno e non entrano nel grafo delle variabili osservate).

Cammini backdoor (il primo arco entra in $X$):

1. $X\leftarrow A\to C\to Y$: $A$ è una biforcazione (causa di $X$ e di $C$), $C$ è una catena. Si blocca condizionando su $A$ o su $C$.
2. $X\leftarrow B\to Y$: $B$ è una biforcazione, si blocca condizionando su $B$.

Il cammino causale $X\to Y$ non va bloccato. Discendenti di $X$: solo $Y$. $C$ non è discendente di $X$ (è figlio di $A$, non di $X$: nell'equazione di $C$ non compare $X$), quindi $C$ può far parte dell'insieme.

Criterio backdoor: $Z$ non contiene discendenti di $X$ e blocca tutti i cammini backdoor. Quindi $Z$ deve contenere $B$ (cammino 2, nessun'altra possibilità) e almeno uno tra $A$ e $C$ (cammino 1). Insiemi validi:

$$\{A,B\},\qquad\{B,C\},\qquad\{A,B,C\}.$$

Risposte giuste: $\{A,B,C\}$, $\{B,C\}$, $\{A,B\}$. Il fatto che $C$ sia ammesso è la trappola: un mediatore $X\to C\to Y$ andrebbe escluso (come nella domanda precedente dello stesso quiz), ma qui $C$ dipende da $A$ e non da $X$, ed è solo un intermedio sul cammino confondente.

Controllo con un programma (enumerazione di tutti i sottoinsiemi di $\{A,B,C\}$, cammini e blocco secondo la d-separazione): risultano valide esattamente le tre combinazioni sopra.