Esercizio - Backpropagation a mano su una rete 2-2-1

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Testo. Rete con due ingressi, due neuroni nascosti con sigmoide e un neurone di uscita con sigmoide; loss cross-entropy binaria. Pesi: $W^{(1)}=\begin{bmatrix}0{,}5&-0{,}5\\0{,}3&0{,}8\end{bmatrix}$, $b^{(1)}=(0,0)$, $w^{(2)}=(1,-1)$, $b^{(2)}=0{,}1$. Un campione $x=(1;\,0{,}5)$ con $y=1$.

1. Forward pass: $z^{(1)}$, $a^{(1)}$, $z^{(2)}$, $\hat y$ e la loss.
2. Backpropagation: tutti i gradienti.
3. Un passo di discesa del gradiente con $\eta=0{,}5$ e la nuova loss.
4. Verifica di un gradiente con la differenza finita.

Teoria usata: Addestramento delle reti neurali - backpropagation e ottimizzatoriAddestrare una rete significa minimizzare la loss empirica $J(W)=\frac1n\sum_i\mathcal L(f(x^{(i)};W),y^{(i)})$ con la discesa del gradiente $W\leftarrow W-\eta,\partial J/\partial W$; in pratica a mini-batch (SGD). Il gradiente di tutti i pesi si ottiene con la backpropagation, cioè la regola della catena applicata all'indietro: $\delta^{(L)}=\partial J/\partial a^{(L)}\odot g'(z^{(L)})$, $\delta^{(l)}=(W^{(l+1)\top}\delta^{(l+1)})\odot g'(z^{(l)})$, $\partial J/\partial W^{(l)}=\delta^{(l)}a^{(l-1)\top}$ (con sigmoide e cross-entropy $\delta=\hat y-y$). Per far funzionare reti profonde: attivazioni ReLU, inizializzazione di Xavier o He (varianza $2/(n_{in}+n_{out})$ e $2/n_{in}$), batch normalization, ottimizzatori con momento o adattivi (Momentum, AdaGrad, RMSProp, Adam con $\beta_1=0{,}9$, $\beta_2=0{,}999$, lr $10^{-3}$) e un learning rate che varia nel tempo (a gradini, coseno). Si addestra tenendo d'occhio la loss di training e di validazione.Addestramento delle reti neurali - backpropagation e ottimizzatori →, Reti neurali - neuroni e funzioni di attivazioneUn neurone calcola $\hat y=g(w_0+w^\top x)$: somma pesata degli ingressi più bias, poi una funzione di attivazione $g$ non lineare (Perceptron a soglia, sigmoide, tanh, ReLU e varianti). Senza non linearità ogni rete è equivalente a un solo modello lineare. Una rete feed-forward impila strati di neuroni: $a^{(k)}=g(W^{(k)}a^{(k-1)}+b^{(k)})$; con uno strato nascosto è già un approssimatore universale, ma più strati rappresentano funzioni complesse con molti meno neuroni e imparano feature gerarchiche (bordi, parti, oggetti). Lo strato di uscita e la loss si scelgono dal compito: lineare+MSE (regressione), sigmoide+cross-entropy binaria, softmax+cross-entropy (multiclasse). Il numero di parametri di uno strato denso è $n_{in}n_{out}+n_{out}$. Nel lab (Keras, MNIST) una rete 784-512-10 ha 407 050 parametri e supera il 98% di accuratezza.Reti neurali - neuroni e funzioni di attivazione →, Regola della catena in più variabiliSe x(t) è una curva derivabile e f è differenziabile in x(t₀), allora (f∘x)'(t₀) = ∇f(x(t₀))·x'(t₀) = Σ ∂ᵢf(x(t₀)) xᵢ'(t₀): la variazione di f lungo il moto è il gradiente per la velocità. Serve per derivare composte come f(2t, t²), per ricavare il gradiente da informazioni lungo curve, per le derivate di f(g(s,t)) e per provare che il gradiente è ortogonale alle curve di livello.Regola della catena in più variabili →, Regole di derivazioneDerivate delle funzioni elementari e delle loro inverse (arcsin, arctan, settcosh...) e regole di calcolo: linearità, prodotto (Leibniz), quoziente, funzione composta (regola della catena), funzione inversa, f(x)^g(x).Regole di derivazione →.

1. Forward pass

Strato nascosto. $z^{(1)}=W^{(1)}x+b^{(1)}$:

• $z^{(1)}_1=0{,}5\cdot1-0{,}5\cdot0{,}5=0{,}25$;
• $z^{(1)}_2=0{,}3\cdot1+0{,}8\cdot0{,}5=0{,}70$.

Attivazioni sigmoidi: $a_1=\sigma(0{,}25)=0{,}5622$, $a_2=\sigma(0{,}70)=0{,}6682$.

Uscita. $z^{(2)}=w^{(2)}\cdot a^{(1)}+b^{(2)}=1\cdot0{,}5622-1\cdot0{,}6682+0{,}1=-0{,}0060$; $\hat y=\sigma(-0{,}0060)=0{,}4985$.

Loss. $y=1$: $L=-\ln\hat y=-\ln0{,}4985=0{,}6962$. (La rete è quasi indecisa: $\hat y\approx0{,}5$.)

2. Backpropagation

Uscita. Con sigmoide e cross-entropy $\delta^{(2)}=\partial L/\partial z^{(2)}=\hat y-y=0{,}4985-1=-0{,}5015$ (la semplificazione $\sigma'$ è dimostrata nella teoria).

Gradienti dell'uscita. Poiché $z^{(2)}=w_1a_1+w_2a_2+b^{(2)}$:

• $\partial L/\partial w_1=\delta^{(2)}a_1=-0{,}5015\cdot0{,}5622=-0{,}2819$;
• $\partial L/\partial w_2=\delta^{(2)}a_2=-0{,}5015\cdot0{,}6682=-0{,}3351$;
• $\partial L/\partial b^{(2)}=\delta^{(2)}=-0{,}5015$.

Strato nascosto. Si porta indietro l'errore: $\partial L/\partial a_j=\delta^{(2)}w_j$, poi si moltiplica per la derivata della sigmoide $a_j(1-a_j)$:

• $\delta^{(1)}_1=\delta^{(2)}\,w_1\,a_1(1-a_1)=-0{,}5015\cdot1\cdot0{,}5622\cdot0{,}4378=-0{,}5015\cdot0{,}2461=-0{,}1234$;
• $\delta^{(1)}_2=\delta^{(2)}\,w_2\,a_2(1-a_2)=-0{,}5015\cdot(-1)\cdot0{,}6682\cdot0{,}3318=0{,}5015\cdot0{,}2217=0{,}1112$.

Gradienti dei pesi del primo strato ($\partial L/\partial W^{(1)}_{ij}=\delta^{(1)}_ix_j$, $\partial L/\partial b^{(1)}_i=\delta^{(1)}_i$):

$$\frac{\partial L}{\partial W^{(1)}}=\begin{bmatrix}-0{,}1234\cdot1&-0{,}1234\cdot0{,}5\\0{,}1112\cdot1&0{,}1112\cdot0{,}5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-0{,}1234&-0{,}0617\\0{,}1112&0{,}0556\end{bmatrix},\qquad\frac{\partial L}{\partial b^{(1)}}=(-0{,}1234;\ 0{,}1112).$$

3. Passo di discesa ($\eta=0{,}5$)

Ogni parametro $\theta\leftarrow\theta-\eta\,\partial L/\partial\theta$:

• $W^{(1)}\leftarrow\begin{bmatrix}0{,}5+0{,}0617&-0{,}5+0{,}0309\\0{,}3-0{,}0556&0{,}8-0{,}0278\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0{,}5617&-0{,}4691\\0{,}2444&0{,}7722\end{bmatrix}$;
• $b^{(1)}\leftarrow(0{,}0617;\ -0{,}0556)$;
• $w^{(2)}\leftarrow(1+0{,}5\cdot0{,}2819;\ -1+0{,}5\cdot0{,}3351)=(1{,}1410;\ -0{,}8325)$;
• $b^{(2)}\leftarrow0{,}1+0{,}5\cdot0{,}5015=0{,}3508$.

Nuova loss. Si rifà il forward pass con i nuovi pesi: $z_1=0{,}5617\cdot1-0{,}4691\cdot0{,}5+0{,}0617=0{,}3888$, $z_2=0{,}2444+0{,}7722\cdot0{,}5-0{,}0556=0{,}5749$; $a=(\sigma(0{,}3888),\sigma(0{,}5749))=(0{,}5960;\ 0{,}6399)$; $z^{(2)}=1{,}1410\cdot0{,}5960-0{,}8325\cdot0{,}6399+0{,}3508=0{,}4981$; $\hat y=\sigma(0{,}4981)=0{,}6220$; $L=-\ln0{,}6220=0{,}4748$. La loss è scesa da $0{,}6962$ a $0{,}4748$ e $\hat y$ si è avvicinato a $y=1$.

4. Verifica con la differenza finita

Si controlla $\partial L/\partial W^{(1)}_{11}$: si somma $\varepsilon=10^{-6}$ a $W^{(1)}_{11}$ e si ricalcola la loss: $\big(L(W_{11}+\varepsilon)-L(W_{11})\big)/\varepsilon\approx-0{,}12344$, uguale al valore analitico $-0{,}1234$. Analogamente per $w_1^{(2)}$: $-0{,}28193$ contro $-0{,}2819$. È il metodo standard (gradient checking) per scovare errori nell'implementazione della backpropagation.

Codice di controllo

import numpy as np
sig = lambda z: 1 / (1 + np.exp(-z))
x = np.array([1., .5]); W1 = np.array([[.5, -.5], [.3, .8]]); b1 = np.zeros(2); w2 = np.array([1., -1.]); b2 = .1; y = 1.
a1 = sig(W1 @ x + b1); yh = sig(w2 @ a1 + b2)
d2 = yh - y
d1 = (w2 * d2) * a1 * (1 - a1)
print(d2, d2 * a1, np.outer(d1, x))     # -0.5015  [-0.2819 -0.3351]  [[-0.1234 -0.0617] [ 0.1112  0.0556]]