Regole di derivazione

Lezioni 25-26. Prerequisito: Derivata - definizione e significatoLa derivata è il limite del rapporto incrementale; geometricamente è la pendenza della retta tangente. f è derivabile in x0 se e solo se f(x) = f(x0) + f'(x0)(x − x0) + o(x − x0); derivabile implica continua, non viceversa. Derivata destra e sinistra, punti angolosi, flessi a tangente verticale, cuspidi.Derivata - definizione e significato →, Limiti notevoli di funzioniI limiti notevoli per le forme 0/0 (log(1+x)/x, (e^x − 1)/x, ((1+x)^α − 1)/x, sin x/x, (1 − cos x)/x², arctan x/x...) con le dimostrazioni, e la loro forma come asintoticità: log(1+f) ~ f, e^f − 1 ~ f, sin f ~ f, 1 − cos f ~ f²/2 quando f → 0.Limiti notevoli di funzioni →.

Calcolare le derivate con la definizione ogni volta sarebbe lunghissimo. Si calcolano una volta per tutte le derivate delle funzioni elementari, e poi si usano le regole per somme, prodotti, quozienti e composizioni.

Derivate delle funzioni elementari

$D(c) = 0$ (costante)

$\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \frac{c - c}{h} = \frac0h = 0$ per ogni $h \ne 0$, quindi il limite è $0$. (Attenzione: qui $\frac0h$ è davvero $0$, non una forma indeterminata, perché $h \ne 0$; poi si passa al limite.)

$D(x) = 1$

$\frac{(x + h) - x}{h} = \frac{h}{h} = 1 \to 1$.

$D(\sin x) = \cos x$, $\ D(\cos x) = -\sin x$, per ogni $x \in \mathbb{R}$

Per il seno, con la formula di prostaferesi $\sin(x + h) - \sin x = 2\sin\frac{h}{2}\cos\left(x + \frac{h}{2}\right)$:

$$\frac{\sin(x + h) - \sin x}{h} = \frac{\sin\frac{h}{2}}{\frac{h}{2}} \cdot \cos\left(x + \frac{h}{2}\right) \to 1 \cdot \cos x$$

(limite notevole del seno con $t = \frac{h}{2} \to 0$, e continuità del coseno). Il coseno si fa allo stesso modo.

$D(a^x) = a^x\log a$, $\ D(e^x) = e^x$, per ogni $x \in \mathbb{R}$ ($a > 0$, $a \ne 1$)

$$\frac{a^{x + h} - a^x}{h} = a^x \cdot \frac{a^h - 1}{h} \to a^x\log a$$

per il limite notevole $\frac{a^h - 1}{h} \to \log a$. Con $a = e$: $\log e = 1$, quindi $e^x$ è la funzione uguale alla propria derivata.

$D(\log_a x) = \frac{1}{x}\log_a e$, $\ D(\log x) = \frac1x$, per ogni $x > 0$

Con le proprietà del logaritmo, $\log_a(x + h) - \log_a x = \log_a\frac{x + h}{x} = \log_a\left(1 + \frac{h}{x}\right)$, quindi

$$\frac{\log_a\left(1 + \frac{h}{x}\right)}{h} = \frac{\log_a\left(1 + \frac{h}{x}\right)}{\frac{h}{x}} \cdot \frac1x \to \log_a e \cdot \frac1x$$

(limite notevole con $t = \frac{h}{x} \to 0$).

Algebra delle derivate

Teorema 1. Siano $f, g: (a, b) \to \mathbb{R}$ derivabili in $x_0 \in \,]a, b[$. Allora:

1. Linearità: $D(c\,f)(x_0) = c\,f'(x_0)$ per ogni $c \in \mathbb{R}$, e $D(f \pm g)(x_0) = f'(x_0) \pm g'(x_0)$;
2. Derivata del prodotto (formula di Leibniz): $$D(f \cdot g)(x_0) = f'(x_0)\,g(x_0) + f(x_0)\,g'(x_0)$$
3. Reciproco e quoziente, se $g(x_0) \ne 0$: $$D\left(\frac1g\right)(x_0) = -\frac{g'(x_0)}{[g(x_0)]^2}, \qquad D\left(\frac{f}{g}\right)(x_0) = \frac{f'(x_0)\,g(x_0) - f(x_0)\,g'(x_0)}{[g(x_0)]^2}$$

Il prodotto si estende a più fattori: si deriva un fattore alla volta lasciando gli altri invariati, e si somma. Per esempio $D(f_1 f_2 f_3) = f_1' f_2 f_3 + f_1 f_2' f_3 + f_1 f_2 f_3'$.

Dimostrazione della formula del prodotto

Si aggiunge e si toglie $f(x_0)\,g(x_0 + h)$ al numeratore del rapporto incrementale (un trucco per far comparire i rapporti incrementali di $f$ e di $g$):

$$\frac{f(x_0 + h)g(x_0 + h) - f(x_0)g(x_0)}{h} = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \cdot g(x_0 + h) + f(x_0) \cdot \frac{g(x_0 + h) - g(x_0)}{h}$$

Per $h \to 0$: il primo rapporto tende a $f'(x_0)$, il secondo a $g'(x_0)$, e $g(x_0 + h) \to g(x_0)$ perché $g$, essendo derivabile in $x_0$, è continua in $x_0$. Il limite è $f'(x_0)g(x_0) + f(x_0)g'(x_0)$ ∎.

Esempio: la derivata della tangente

$$D(\tan x) = D\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}$$

e si può concludere in due modi:

• con l'identità $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$: $D(\tan x) = \frac{1}{\cos^2 x}$;
• dividendo termine a termine: $D(\tan x) = 1 + \tan^2 x$.

Vale per ogni $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$.

Derivata della funzione composta (regola della catena)

Teorema 2. Sia $g$ derivabile in $x_0$ e $f$ derivabile in $y_0 = g(x_0)$ (con $g$ e $f \circ g$ definite in un intorno di $x_0$, $f$ in un intorno di $y_0$). Allora $f \circ g$ è derivabile in $x_0$ e $$(f \circ g)'(x_0) = f'(g(x_0)) \cdot g'(x_0)$$

Perché "regola della catena". Con la notazione di Leibniz, se $y = g(x)$:

$$\frac{d}{dx}f(y(x)) = \frac{df}{dy}(y(x)) \cdot \frac{dy}{dx}(x)$$

e con più composizioni gli anelli si moltiplicano: $\frac{d}{dx}f(y_2(y_1(x))) = \frac{df}{dy_2} \cdot \frac{dy_2}{dy_1} \cdot \frac{dy_1}{dx}$. Si deriva dall'esterno verso l'interno, moltiplicando ogni volta per la derivata di quello che sta dentro.

Esempio

$f(x) = e^{3\tan(e^{-x} + \cos(2x))}$. Tre "strati": l'esponenziale, poi $3\tan(\cdot)$, poi $e^{-x} + \cos(2x)$.

$$f'(x) = e^{3\tan(e^{-x} + \cos(2x))} \cdot D\left(3\tan(e^{-x} + \cos(2x))\right) \qquad (De^y = e^y)$$

$$= e^{3\tan(e^{-x} + \cos(2x))} \cdot \frac{3}{\cos^2(e^{-x} + \cos(2x))} \cdot D\left(e^{-x} + \cos(2x)\right) \qquad \left(D(3\tan y) = \frac{3}{\cos^2 y}\right)$$

e $D(e^{-x} + \cos(2x)) = e^{-x} \cdot D(-x) - \sin(2x) \cdot D(2x) = -e^{-x} - 2\sin(2x)$. Quindi

$$f'(x) = e^{3\tan(e^{-x} + \cos(2x))} \cdot \frac{3\left(-e^{-x} - 2\sin(2x)\right)}{\cos^2(e^{-x} + \cos(2x))}$$

Dimostrazione

Per la caratterizzazione della derivabilità di $f$ in $y_0$: vicino a $y_0$,

$$f(y) = f(y_0) + f'(y_0)(y - y_0) + o(y - y_0)$$

Poiché $g$ è derivabile in $x_0$, è continua: $g(x_0 + h) \to g(x_0) = y_0$ per $h \to 0$. Si può quindi mettere $y = g(x_0 + h)$:

$$f(g(x_0 + h)) = f(g(x_0)) + f'(g(x_0))\left(g(x_0 + h) - g(x_0)\right) + \left(g(x_0 + h) - g(x_0)\right) \cdot o(1)$$

dove si è scritto $o(y - y_0) = (y - y_0) \cdot o(1)$, con $o(1)$ una funzione che tende a $0$ per $h \to 0$. Dividendo per $h$:

$$\frac{f(g(x_0 + h)) - f(g(x_0))}{h} = f'(g(x_0)) \cdot \frac{g(x_0 + h) - g(x_0)}{h} + \frac{g(x_0 + h) - g(x_0)}{h} \cdot o(1) \to f'(g(x_0))\,g'(x_0) + g'(x_0) \cdot 0$$

∎. (Se $g(x_0 + h) \ne g(x_0)$ vicino a $0$, la dimostrazione è più semplice: si moltiplica e divide per $g(x_0 + h) - g(x_0)$ e si usa il cambio di variabile $y = g(x_0 + h)$.)

Altre derivate

Funzioni iperboliche

$$D(\sinh x) = \cosh x, \qquad D(\cosh x) = \sinh x, \qquad D(\tanh x) = \frac{1}{\cosh^2 x} \qquad \forall x \in \mathbb{R}$$

Per esempio $D(\sinh x) = D\left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right) = \frac12\left(e^x - e^{-x} \cdot (-1)\right) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh x$ (la derivata di $e^{-x}$ è $e^{-x} \cdot D(-x) = -e^{-x}$).

Logaritmo del modulo

$$D\log|x| = \frac1x \qquad \forall x \ne 0$$

Per $x > 0$ è $D\log x = \frac1x$; per $x < 0$, $|x| = -x$ e $D\log(-x) = \frac{1}{-x} \cdot (-1) = \frac1x$. Con la regola della catena:

$$D\log f(x) = \frac{f'(x)}{f(x)} \ \ (f > 0), \qquad D\log|f(x)| = \frac{f'(x)}{f(x)} \ \ (f \ne 0)$$

Potenze con base ed esponente variabili

Se $f(x) > 0$ e $f, g$ sono derivabili, con la forma esponenziale $f^g = e^{g\log f}$:

$$D\left(f(x)^{g(x)}\right) = e^{g(x)\log f(x)} \cdot D\left(g(x)\log f(x)\right) = f(x)^{g(x)}\left[g'(x)\log f(x) + g(x)\frac{f'(x)}{f(x)}\right]$$

Esempi.

• $D(x^x) = D(e^{x\log x}) = x^x\left[\log x + x \cdot \frac1x\right] = x^x(\log x + 1)$ (per $x > 0$).
• $D(x^\alpha) = D(e^{\alpha\log x}) = e^{\alpha\log x} \cdot \frac{\alpha}{x} = x^\alpha \cdot \frac{\alpha}{x} = \alpha x^{\alpha - 1}$, per ogni $\alpha \in \mathbb{R}$, $\alpha \ne 0$ (per $x > 0$; per esponenti interi vale anche per $x < 0$).

Derivata della funzione inversa

Lezione 26.

Teorema. Sia $f: (a, b) \to \mathbb{R}$ continua e invertibile su $f((a, b))$. Se $f$ è derivabile in $x_0 \in \,]a, b[$ e $f'(x_0) \ne 0$, allora $f^{-1}$ è derivabile in $y_0 = f(x_0)$ e $$(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} = \frac{1}{[f'(x)]_{x = f^{-1}(y_0)}}$$

Il significato geometrico. Il grafico di $f^{-1}$ è il simmetrico di quello di $f$ rispetto alla bisettrice $y = x$: scambiando $x$ e $y$, una retta di pendenza $m$ diventa una retta di pendenza $\frac1m$.

Dimostrazione.

Passo 1. $f$ è continua e invertibile sull'intervallo $(a, b)$, quindi (teorema sulla continuità dell'inversaSe f è continua e invertibile su un intervallo, è strettamente monotona e la sua inversa è continua.Funzioni continue su un intervallo →) $f^{-1}$ è continua su $f((a, b))$: in particolare $\lim_{y \to y_0} f^{-1}(y) = f^{-1}(y_0) = x_0$.

Passo 2. Nel rapporto incrementale di $f^{-1}$ si cambia variabile: $x = f^{-1}(y)$, cioè $y = f(x)$. Per il passo 1, quando $y \to y_0$ si ha $x \to x_0$ (e $x \ne x_0$ se $y \ne y_0$, perché $f^{-1}$ è iniettiva):

$$\lim_{y \to y_0} \frac{f^{-1}(y) - f^{-1}(y_0)}{y - y_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{x - x_0}{f(x) - f(x_0)} = \frac{1}{f'(x_0)}$$

∎. Attenzione: senza il passo 1 la dimostrazione è a metà: è la continuità di $f^{-1}$ a garantire che $x \to x_0$.

Se $f'(x_0) = 0$, $f^{-1}$ non è mai derivabile in $y_0$: il rapporto incrementale diventa $\frac{x - x_0}{f(x) - f(x_0)}$ con denominatore che va a $0$ più in fretta del numeratore, e il limite è $+\infty$, $-\infty$ o non esiste. Esempio: $f(x) = x^3$ ha $f'(0) = 0$, e infatti $f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y}$ ha tangente verticale in $0$.

Derivate delle inverse trigonometriche e iperboliche

$$D(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad D(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \qquad (-1 < x < 1)$$

$$D(\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2} \qquad (x \in \mathbb{R})$$

$$D(\mathrm{settsinh}\,x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \ \ (x \in \mathbb{R}), \qquad D(\mathrm{settcosh}\,x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \ \ (x > 1), \qquad D(\mathrm{setttanh}\,x) = \frac{1}{1 - x^2} \ \ (-1 < x < 1)$$

Dimostrazione per l'arcoseno. $\arcsin$ è l'inversa di $\sin$ ristretto a $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Con $y = \arcsin x$:

$$D(\arcsin x) = \frac{1}{[D\sin y]_{y = \arcsin x}} = \frac{1}{[\cos y]_{y = \arcsin x}}$$

Ora si esprime $\cos y$ tramite $\sin y = x$: da $\cos^2 y + \sin^2 y = 1$ segue $\cos y = \pm\sqrt{1 - \sin^2 y}$. Per $y \in \,]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[$ il coseno è positivo, quindi si prende il segno $+$:

$$D(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2(\arcsin x)}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \qquad \forall x \in \,]-1, 1[$$

(Negli estremi $\pm 1$ si ha $\cos y = 0$: l'arcoseno non è derivabile, ha tangente verticale.)

Dimostrazione per $\mathrm{settcosh}$. È l'inversa di $\cosh$ ristretto a $[0, +\infty[$. Con $y = \mathrm{settcosh}\,x$:

$$D(\mathrm{settcosh}\,x) = \frac{1}{[\sinh y]_{y = \mathrm{settcosh}\,x}}$$

Da $\cosh^2 y - \sinh^2 y = 1$ segue $\sinh y = \pm\sqrt{\cosh^2 y - 1}$, e per $y > 0$ il seno iperbolico è positivo:

$$D(\mathrm{settcosh}\,x) = \frac{1}{\sqrt{\cosh^2(\mathrm{settcosh}\,x) - 1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \qquad \forall x > 1$$

L'arcotangente si fa allo stesso modo con $D(\tan y) = 1 + \tan^2 y$: $D(\arctan x) = \frac{1}{1 + \tan^2(\arctan x)} = \frac{1}{1 + x^2}$.

Tabella riassuntiva

Errori comuni

• Derivare il prodotto come prodotto delle derivate: $D(fg) \ne f'g'$; è $f'g + fg'$.
• Dimenticare la derivata "interna" nella catena: $D(\sin(2x)) = 2\cos(2x)$, non $\cos(2x)$.
• Derivare $x^x$ come una potenza ($x \cdot x^{x-1}$) o come un esponenziale ($x^x\log x$): serve la forma esponenziale, e il risultato è $x^x(\log x + 1)$.
• Sbagliare il segno nel quoziente: al numeratore è $f'g - fg'$, in quest'ordine.

Esercizi: Esercizio 72 · derivate con la regola della catena e con f^g.