Esercizio 114n^-log n) e (n!)^-1/n) con il confronto

Testo (Lezione 34, esercizio 6 del foglio). Discutere il carattere delle serie

$$\text{①} \ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{\log n}}, \qquad \text{②} \ \sum_{n=1}^{+\infty} (n!)^{-1/n}$$

Entrambe le serie sono a termini positivi. Nessuna delle due è asintotica a qualcosa di semplice, e il criterio del rapporto o della radice porterebbe a conti scomodi. Si usa il criterio del confrontoSe $0 \le a_n \le b_n$ definitivamente: $\sum b_n$ convergente implica $\sum a_n$ convergente, $\sum a_n$ divergente implica $\sum b_n$ divergente.Serie a termini non negativi e criteri del confronto →, cercando una disuguaglianza con una serie armonica generalizzata.

① $\sum \frac{1}{n^{\log n}}$

$a_n = \frac{1}{n^{\log n}} > 0$. Al denominatore c'è $n$ elevato a un esponente, $\log n$, che cresce con $n$. Appena l'esponente supera $2$, il denominatore supera $n^2$:

$$\log n > 2 \iff n > e^2 \approx 7{,}39$$

(applicando l'esponenziale, crescente, ai due membri). Quindi per $n \ge 8$, cioè definitivamente, $\log n > 2$, e siccome la base $n$ è maggiore di $1$ la potenza cresce con l'esponente:

$$n^{\log n} > n^2 \quad \Longrightarrow \quad 0 < \frac{1}{n^{\log n}} < \frac{1}{n^2} \qquad \forall n \ge 8$$

$\sum \frac{1}{n^2}$ è una serie armonica generalizzata$\sum \frac{1}{n^\alpha}$ converge se e solo se $\alpha > 1$.Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica → con $\alpha = 2 > 1$: converge. Per il criterio del confronto (che basta valga definitivamente), la serie ① converge.

(In realtà $\frac{1}{n^{\log n}}$ va a zero più in fretta di qualunque $\frac{1}{n^\alpha}$: per ogni $\alpha$, prima o poi $\log n > \alpha$. Per confrontare basta scegliere un esponente qualsiasi maggiore di $1$; $2$ è il più comodo.)

② $\sum (n!)^{-1/n} = \sum \frac{1}{\sqrt[n]{n!}}$

$a_n = \frac{1}{(n!)^{1/n}} > 0$. Si confronta il fattoriale con $n^n$:

$$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n \qquad\qquad n^n = n \cdot n \cdot n \cdots n$$

Sono entrambi prodotti di $n$ fattori, e ogni fattore di $n!$ è $\le n$; per $n \ge 2$ il primo ($1$) è strettamente minore di $n$. Quindi $n! < n^n$ per $n \ge 2$ (è anche un caso della gerarchia: $n! = o(n^n)$).

Elevando alla $\frac1n$ (la funzione $t \mapsto t^{1/n}$ è crescente per $t > 0$, quindi conserva il verso):

$$(n!)^{1/n} < (n^n)^{1/n} = n \quad \Longrightarrow \quad \frac{1}{(n!)^{1/n}} > \frac1n$$

(passando ai reciproci di numeri positivi il verso si inverte). La serie armonica $\sum \frac1n$ diverge, e la nostra è più grande: per il criterio del confronto la serie ② diverge (a $+\infty$).

Riepilogo

Errori comuni

• Confrontare nella direzione sbagliata: per ① serve una serie più grande e convergente, per ② una più piccola e divergente.
• Dire che $\frac{1}{n^{\log n}} < \frac{1}{n^2}$ per ogni $n$: è vero solo da $n = 8$ in poi (per esempio con $n = 2$: $2^{\log 2} \approx 1{,}62 < 4$). Va bene lo stesso, perché i primi termini non contano, ma va detto.