Esercizio 13

Testo (esempio $E_3$ delle lezioni 4 e 5). Sia

$$E = \{x \in \mathbb{Q} : x < 3\}$$

Stabilire se $E$ è limitato e determinare, se esistono, in $\mathbb{R}$, minimo, massimo, estremo inferiore ed estremo superiore.

Passo 0: capire il testo e fare la congettura

$E$ contiene tutti i razionali minori di $3$: per esempio $2$, $2{,}9$, $2{,}999$, $0$, $-1000$, $-\frac{7}{3}$… Non contiene $3$ (perché non vale $3 < 3$) né irrazionali come $\sqrt{2}$.

Sulla retta: i razionali "riempiono" tutta la semiretta a sinistra di $3$ (con dei buchi invisibili nei punti irrazionali). Congettura:

• supEstremo superiore: il più piccolo dei maggioranti dell'insieme; può non appartenere all'insieme.Estremo superiore (sup) → $= 3$, ma maxIl massimo è un elemento dell'insieme che è anche maggiorante: deve appartenere all'insieme.Estremo superiore (sup) → non esiste ($3 \notin E$);
• infEstremo inferiore; si scrive $\inf E = -\infty$ quando l'insieme non ha minoranti reali.Estremo superiore (sup) → $= -\infty$ (si va verso sinistra senza fine), quindi min non esiste.

Passo 1: superiormente limitato, $\sup E = 3$

CaratterizzazioneDue condizioni equivalenti alla definizione di sup: $s$ è maggiorante, e nessun numero più piccolo di $s$ lo è.Estremo superiore (sup) →: $s = \sup E \iff$ (1) $s \ge x$ per ogni $x \in E$; (2) per ogni $\varepsilon > 0$ esiste $x \in E$ con $x > s - \varepsilon$.

Condizione 1. Ogni $x \in E$ soddisfa $x < 3$, quindi $x \le 3$: $3$ è un maggiorante, ed $E$ è superiormente limitatoHa almeno un maggiorante reale.Estremo superiore (sup) → ✓. (Anche ogni $L \ge 3$ è un maggiorante.)

Condizione 2. Fissiamo $\varepsilon > 0$. Cerchiamo un $x$ razionale con $3 - \varepsilon < x < 3$ (allora $x \in E$ e $x > 3 - \varepsilon$).

• Per il teorema di densità di $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$Tra due numeri reali distinti esiste sempre almeno un numero razionale.Completezza di R (continuità, separazione, sup) →, tra i reali $3 - \varepsilon$ e $3$ c'è un razionale $x$: $3 - \varepsilon < x < 3$ ✓.

Perché serve la densità e non basta $x = 3 - \frac{\varepsilon}{2}$: se $\varepsilon$ è irrazionale (per esempio $\varepsilon = \sqrt{2}$), $3 - \frac{\varepsilon}{2}$ è irrazionaleUn reale che non si può scrivere come frazione di interi, come $\sqrt{2}$.Insiemi numerici (N, Z, Q, R) → e non sta in $E$.

(Alternativa senza densità, per chi vuole un $x$ esplicito: per l'Archimedeità di NPer ogni $\varepsilon > 0$ esiste un naturale $n$ con $\frac{1}{n} < \varepsilon$.Archimedeità di N → esiste $n \in$ $\mathbb{N}^*$I naturali senza lo zero: $1, 2, 3, \dots$Insiemi numerici (N, Z, Q, R) → con $n > \frac{1}{\varepsilon}$; allora $x = 3 - \frac{1}{n}$ è razionale, è $< 3$ e, poiché $\frac{1}{n} < \varepsilon$, è $> 3 - \varepsilon$.)

Quindi $\sup E = 3$.

Il massimo non esiste: il max, se ci fosse, sarebbe uguale al supSe il massimo esiste è un maggiorante che sta nell'insieme, quindi è il più piccolo dei maggioranti: coincide con il sup.Estremo superiore (sup) →, cioè $3$; ma $3 \notin E$.

Passo 2: inferiormente illimitato, $\inf E = -\infty$

Bisogna dimostrare la definizione di "inferiormente illimitatoInsieme senza minoranti reali: scende sotto qualunque numero.Estremo superiore (sup) →":

$$\forall \ell \in \mathbb{R}\ \exists x \in E : x < \ell$$

cioè: nessun numero reale $\ell$ è un minorante, perché sotto ogni $\ell$ c'è un elemento di $E$. Fissiamo $\ell \in \mathbb{R}$ qualsiasiPer dimostrare un "per ogni $\ell$" si fissa un $\ell$ arbitrario, senza sceglierlo, e si ragiona su di lui.Logica e quantificatori → e distinguiamo due casi (come fa la prof).

Caso $\ell \ge 3$. Qualunque elemento di $E$ va bene: per ogni $x \in E$, $x < 3 \le \ell$, quindi $x < \ell$. Per esempio $x = 0$.

Caso $\ell < 3$. Fissato $\varepsilon > 0$, consideriamo il numero $\ell - \varepsilon < \ell$. Per la densità di $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$Tra due reali distinti c'è sempre un razionale: qui tra $\ell - \varepsilon$ e $\ell$.Completezza di R (continuità, separazione, sup) → esiste un razionale $x$ con

$$\ell - \varepsilon < x < \ell$$

Allora $x < \ell < 3$, quindi $x \in E$ (è razionale e minore di $3$) e $x < \ell$ ✓.

(Alternativa esplicita: basta prendere un intero, che è razionaleOgni intero $k$ è razionale perché si scrive come frazione $k/1$.Insiemi numerici (N, Z, Q, R) →, sotto $\ell$, per esempio un intero $x \le \ell - 1$.)

In entrambi i casi abbiamo trovato $x \in E$ con $x < \ell$. Quindi $E$ non è inferiormente limitato:

$$\inf E = -\infty$$

Osservazione ("$\ell$ piccolo a piacere"). Il caso $\ell \ge 3$ era banale: i casi interessanti sono gli $\ell$ molto negativi. In generale per dimostrare $\inf E = -\infty$ basta considerare $\ell$ piccoliUn elemento che sta sotto un certo $\ell$ sta anche sotto ogni $\ell$ più grande: i casi difficili sono gli $\ell$ piccoli.Estremo superiore (sup) → (per esempio $\ell < 0$).

Il minimo non esiste: un insieme che non ha minoranti non può avere minimo (il minimo è un minorante).

Risultato

$E$ è superiormente limitato ma non limitato.

Errori comuni

• Dire $\max E = 3$: $3$ non soddisfa $3 < 3$.
• Scrivere $\inf E = -\infty$ "perché si vede": va dimostrata la condizione $\forall \ell\ \exists x \in E : x < \ell$.
• Prendere elementi irrazionali (come $3 - \frac{\sqrt2}{2}$) pensando che stiano in $E$.