Esercizio 7

Testo (Lezione 1). Siano

$$A = \{x \in \mathbb{R} : x(x-2) \le 0\}, \qquad B = \{x \in \mathbb{R} : (x-1)(x-3) < 0\}.$$

Determinare $A \cup B$, $A \cap B$, $A^c \cup B^c$.

Passo 0: capire il testo

$A$ e $B$ sono descritti con un predicatoUna proprietà che dipende da $x$ e può essere vera o falsa: l'insieme raccoglie le $x$ che la rendono vera.: $A$ contiene i numeri reali $x$ per cui è vera la disuguaglianza $p(x)$: "$x(x-2) \le 0$"; $B$ quelli per cui è vera $q(x)$: "$(x-1)(x-3) < 0$". L'universo è $X = \mathbb{R}$ (serve per i complementariIl complementare $A^c$ contiene gli elementi dell'universo $X$ che non stanno in $A$: senza fissare $X$ non è definito.Operazioni tra insiemi →).

Strategia: prima si scrive ogni insieme come intervalloTutti i reali compresi tra due estremi; parentesi quadra = estremo incluso, parentesi tonda = estremo escluso.Insiemi numerici (N, Z, Q, R) → (risolvendo la disequazione), poi le operazioni diventano semplici operazioni su intervalli.

Passo 1: chi è $A$

Bisogna risolvere $x(x-2) \le 0$. È un prodotto di due fattori, $x$ e $(x - 2)$.

Idea: il segno di un prodotto dipende dai segni dei fattori. Un prodotto è negativo quando i fattori hanno segni opposti, positivo quando hanno lo stesso segno, nullo quando almeno un fattore è nullo.

1. Dove si annullano i fattori: $x = 0$ e $x - 2 = 0 \iff x = 2$. Le due radiciI valori di $x$ che annullano il prodotto, cioè che annullano almeno uno dei fattori. sono $x_1 = 0$ e $x_2 = 2$.
2. Tabella dei segniSi studia il segno di ogni fattore nelle varie zone della retta, poi si moltiplicano i segni colonna per colonna.:

3. Dove $x(x-2) \le 0$: dove il prodotto è negativo ($0 < x < 2$) oppure nullo ($x = 0$ e $x = 2$, perché c'è il "$\le$"). Quindi $0 \le x \le 2$.

$$A = [0, 2]$$

Regola rapida (valori interni). $x(x-2) = x^2 - 2x$ è un polinomio di secondo grado con coefficiente di $x^2$ positivo: il suo grafico è una parabola rivolta verso l'altoIl grafico di $ax^2+bx+c$ con $a>0$: scende e poi risale, quindi è negativo solo tra le radici., che sta sotto l'asse $x$ solo tra le due radici. Quindi "$\le 0$" → valori interni alle radici, estremi inclusi.

Controllo con un valore: $x = 1$: $1 \cdot (1 - 2) = -1 \le 0$ ✓ (e $1 \in [0,2]$). $x = 3$: $3 \cdot 1 = 3 > 0$ ✗ (e $3 \notin [0,2]$) ✓.

Passo 2: chi è $B$

Stesso ragionamento per $(x - 1)(x - 3) < 0$.

1. Radici: $x - 1 = 0 \iff x = 1$, $x - 3 = 0 \iff x = 3$.
2. Il prodotto è negativo quando i fattori hanno segni opposti, cioè quando $x - 1 > 0$ e $x - 3 < 0$, cioè $1 < x < 3$. (L'altro caso, $x - 1 < 0$ e $x - 3 > 0$, richiederebbe $x < 1$ e $x > 3$ insieme: impossibile.)
3. Qui la disuguaglianza è stretta ($< 0$), quindi le radici, dove il prodotto vale $0$, sono escluse.

$$B = (1, 3)$$

Controllo: $x = 2$: $1 \cdot (-1) = -1 < 0$ ✓. $x = 1$: $0 \cdot (-2) = 0$, che non è $< 0$, quindi $1 \notin B$ ✓.

Ecco i due insiemi sulla retta:

Passo 3: $A \cup B$

L'unione$A \cup B$ contiene gli elementi che stanno in $A$ oppure in $B$ (o in entrambi).Operazioni tra insiemi → corrisponde all'"oppureIl connettivo $\vee$ ("o"): è vero se almeno una delle due affermazioni è vera.Logica e quantificatori →": $x \in A \cup B$ se $x(x-2) \le 0$ oppure $(x-1)(x-3) < 0$, cioè se $x \in [0, 2]$ oppure $x \in (1, 3)$.

Come si uniscono due intervalli. Si guarda la retta: $[0, 2]$ copre da $0$ a $2$, $(1, 3)$ copre da $1$ a $3$. I due pezzi si sovrappongono (tra $1$ e $2$), quindi insieme coprono un unico intervallo, da $0$ a $3$.

• L'estremo sinistro è $0$, e $0 \in A$, quindi è incluso.
• L'estremo destro è $3$: $3 \notin A$ (perché $3 > 2$) e $3 \notin B$ (estremo escluso), quindi è escluso.

$$A \cup B = [0, 3)$$

Passo 4: $A \cap B$

L'intersezione$A \cap B$ contiene gli elementi che stanno sia in $A$ sia in $B$.Operazioni tra insiemi → corrisponde alla "eIl connettivo $\wedge$: è vero solo se entrambe le affermazioni sono vere.Logica e quantificatori →", cioè a un sistemaPiù condizioni da soddisfare tutte insieme: le soluzioni sono quelle comuni a tutte le condizioni.:

$$x \in A \cap B \iff \begin{cases} x(x-2) \le 0 \\ (x-1)(x-3) < 0 \end{cases} \iff \begin{cases} 0 \le x \le 2 \\ 1 < x < 3 \end{cases}$$

Si prendono i punti che soddisfano entrambe le condizioni: devono essere $\ge 0$ e $> 1$, cioè $> 1$ (la condizione più restrittiva a sinistra); devono essere $\le 2$ e $< 3$, cioè $\le 2$ (la più restrittiva a destra).

• $1$ è escluso (non sta in $B$);
• $2$ è incluso ($2 \in A$ e $2 \in B$, perché $1 < 2 < 3$).

$$A \cap B = (1, 2]$$

Passo 5: $A^c \cup B^c$

Ci sono due strade. La prof le indica entrambe.

Strada 1: direttamente

$A^c$Il complementare di $A$ in $X = \mathbb{R}$: i reali che non stanno in $A$.Operazioni tra insiemi → contiene gli $x$ per cui non vale $x(x-2) \le 0$, cioè $x(x-2) > 0$ (il contrarioLa negazione di $a \le b$ è $a > b$: tra due reali vale sempre esattamente una delle due.Logica e quantificatori → di "$\le$" è "$>$"). $B^c$ contiene gli $x$ con $(x-1)(x-3) \ge 0$ (il contrario di "$<$" è "$\ge$"). Quindi

$$A^c \cup B^c = \{x \in \mathbb{R} : x(x-2) > 0 \ \vee \ (x-1)(x-3) \ge 0\}$$

• $A^c = (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$ (valori esterni alle radici $0$ e $2$, esclusi);
• $B^c = (-\infty, 1] \cup [3, +\infty)$ (esterni alle radici $1$ e $3$, inclusi).

Unendo: a sinistra $(-\infty, 0) \cup (-\infty, 1] = (-\infty, 1]$; a destra $(2, +\infty) \cup [3, +\infty) = (2, +\infty)$. Risultato: $(-\infty, 1] \cup (2, +\infty)$.

Strada 2: con De Morgan (più veloce)

Per la legge di De MorganIl complementare scambia unione e intersezione: $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$ e $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$.Operazioni tra insiemi → $A^c \cup B^c = (A \cap B)^c$. L'intersezione l'abbiamo già: $A \cap B = (1, 2]$. Il complementare in $\mathbb{R}$ è tutto ciò che non sta in $(1, 2]$:

• i numeri $\le 1$ (il numero $1$ non sta in $(1, 2]$, quindi sta nel complementare);
• i numeri $> 2$ (il numero $2$ sta in $(1, 2]$, quindi non sta nel complementare).

$$A^c \cup B^c = (A \cap B)^c = (-\infty, 1] \cup (2, +\infty)$$

Le due strade danno lo stesso risultato ✓.

Regola per gli estremi nel complementare: un estremo incluso nell'insieme diventa escluso nel complementare, e viceversa.

Controllo con valori di prova: $x = 0$: sta in $A$ ma non in $B$, quindi $x \in B^c$ e dunque in $A^c \cup B^c$; infatti $0 \le 1$ ✓. $x = 1{,}5$: sta sia in $A$ sia in $B$, quindi né in $A^c$ né in $B^c$; infatti $1{,}5 \in (1, 2]$ è escluso dal risultato ✓. $x = 2{,}5$: non sta in $A$, quindi sta in $A^c$; infatti $2{,}5 > 2$ ✓.

Errori comuni

• Confondere "$\le$" e "$<$" e quindi includere/escludere gli estremi sbagliati: in $A$ gli estremi ci sono, in $B$ no.
• Negare "$\le 0$" con "$< 0$" quando si calcola il complementare: il contrario di $\le$ è $>$.
• Scrivere $(A \cup B)^c$ al posto di $(A \cap B)^c$: il complementare scambia unione e intersezione.
• Per l'unione prendere solo la parte comune: quella è l'intersezione.

Risultato