Esercizio 19

Testo (Lezione 9, esercizio 3). Risolvere

1. $\sqrt[3]{x + 1} < 2$
2. $\sqrt{x^2 + 1} < 3x$
3. $3x < \sqrt{x^2 + 1}$

Le regole usate sono raccolte in Disequazioni con potenze e radiciSi può applicare ai due membri di una disequazione una funzione strettamente monotona; con le radici di indice pari servono le condizioni sui segni.Disequazioni con potenze e radici →: applicare a entrambi i membri una funzione strettamente crescente è lecito; elevare al quadrato solo quando i due membri sono $\ge 0$.

1. $\sqrt[3]{x + 1} < 2$

Dominio. La radice cubicaRadice di indice dispari: è definita per ogni numero reale, anche negativo.Funzioni potenza → è definita su tutto $\mathbb{R}$: nessuna condizione.

Eleviamo al cubo. La funzione $t \mapsto t^3$ è strettamente crescente su tutto $\mathbb{R}$Applicandola ai due membri il verso si conserva e il passaggio è un "se e solo se".Disequazioni con potenze e radici →, quindi:

$$\sqrt[3]{x+1} < 2 \iff \left(\sqrt[3]{x+1}\right)^3 < 2^3 \iff x + 1 < 8 \iff x < 7$$

Soluzione: $x < 7$.

Controllo: $x = 7$: $\sqrt[3]{8} = 2$, non $< 2$ ✓ escluso. $x = -9$: $\sqrt[3]{-8} = -2 < 2$ ✓.

2. $\sqrt{x^2 + 1} < 3x$

DominioLe $x$ per cui l'espressione ha senso: sotto una radice quadrata serve un numero $\ge 0$.Funzioni - definizione, dominio e grafico →. $x^2 + 1 \ge 0$ per ogni $x$ (anzi $\ge 1$): la radice esiste sempre.

Il punto delicato: il segno di $3x$. La radice quadrata$\sqrt{t}$ è il numero $\ge 0$ il cui quadrato è $t$: non è mai negativa.Funzioni potenza → è sempre $\ge 0$ (qui anzi $\ge 1$). Distinguiamo:

• $x < 0$: $3x < 0$, e una radice (positiva) non può essere minore di un numero negativo. Mai vera. (Anche $x = 0$ non va: $1 < 0$ è falso.)
• $x \ge 0$: entrambi i membri sono $\ge 0$, quindi si può elevare al quadrato$t \mapsto t^2$ è strettamente crescente solo su $[0, +\infty)$: si può usare solo se entrambi i membri sono non negativi.Disequazioni con potenze e radici → conservando il verso: $$x^2 + 1 < 9x^2 \iff 1 < 8x^2 \iff x^2 > \frac18$$ cioè (valori esterniUna disequazione $x^2 > c$ con $c > 0$ è vera per $x < -\sqrt{c}$ oppure $x > \sqrt{c}$.) $x < -\frac{1}{\sqrt8}$ oppure $x > \frac{1}{\sqrt8}$. IntersecandoLe condizioni di un sistema valgono insieme: si tengono solo le $x$ comuni.Operazioni tra insiemi → con $x \ge 0$: $x > \frac{1}{\sqrt8}$.

$$\begin{cases} x \ge 0 \\ 8x^2 > 1 \end{cases} \iff x > \frac{1}{\sqrt8}$$

Soluzione: $x > \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2\sqrt2} \approx 0{,}354$.

Attenzione: errore frequente

Scrivere direttamente $\sqrt{x^2+1} < 3x \iff x^2 + 1 < 9x^2 \iff x < -\frac{1}{\sqrt8} \vee x > \frac{1}{\sqrt8}$ è sbagliato: la parte $x < -\frac{1}{\sqrt8}$ non è soluzione (per esempio $x = -1$: $\sqrt2 < -3$ è falso). Elevando al quadrato senza controllare i segni si sono aggiunte soluzioni false.

Schema da ricordare:

$$\sqrt{A(x)} \le B(x) \iff \begin{cases} A(x) \ge 0 \\ B(x) \ge 0 \\ A(x) \le B^2(x) \end{cases}$$

3. $3x < \sqrt{x^2 + 1}$

Ora la radice sta dalla parte "grande". Di nuovo si distingue il segno di $3x$:

• $x < 0$: $3x < 0 \le \sqrt{x^2+1}$: sempre vera (un negativo è sempre minore di una radice). Tutti gli $x < 0$ sono soluzioni.
• $x \ge 0$: entrambi i membri $\ge 0$, si eleva al quadrato: $$9x^2 < x^2 + 1 \iff 8x^2 < 1 \iff x^2 < \frac18 \iff -\frac{1}{\sqrt8} < x < \frac{1}{\sqrt8}$$ Intersecando con $x \ge 0$: $0 \le x < \frac{1}{\sqrt8}$.

UnioneI due casi coprono zone diverse della retta: le soluzioni sono quelle del primo caso insieme a quelle del secondo.Operazioni tra insiemi → dei due casi: $(x < 0) \cup \left(0 \le x < \frac{1}{\sqrt8}\right)$, cioè

$$x < \frac{1}{\sqrt8}$$

Attenzione: errore frequente

Elevando subito al quadrato, $(3x)^2 < x^2 + 1 \iff 8x^2 < 1 \iff -\frac{1}{\sqrt8} < x < \frac{1}{\sqrt8}$: si perdono tutte le soluzioni $x \le -\frac{1}{\sqrt8}$ (per esempio $x = -1$: $-3 < \sqrt2$ è vero!).

Schema da ricordare:

$$B(x) \le \sqrt{A(x)} \iff \begin{cases} A(x) \ge 0 \\ B(x) < 0 \end{cases} \ \cup \ \begin{cases} B(x) \ge 0 \\ B^2(x) \le A(x) \end{cases}$$

Controllo incrociato tra 2 e 3

Le disequazioni 2 e 3 sono una il "contrario" dell'altra (a parte il caso di uguaglianza). Infatti:

• la 2 ha soluzioni $x > \frac{1}{\sqrt8}$;
• la 3 ha soluzioni $x < \frac{1}{\sqrt8}$;
• in $x = \frac{1}{\sqrt8}$ vale l'uguaglianza: $\sqrt{\frac18 + 1} = \sqrt{\frac98} = \frac{3}{\sqrt8} = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt8}$ ✓.

Risultato