Lezione 6 — Valore assoluto, esercizi e inizio delle funzioni

Data: mercoledì 8 ottobre 2025 · Capitoli 1 (fine) e 2: Numeri, Funzioni · Videolezione: n. 6 della playlist ("Lezione 6", 1h47)

Argomenti trattati

1. Valore assoluto: definizione e proprietà (1–7): equazione $|x| = r$ e disequazioni $|x| \le r$, $|x| \ge r$ a seconda del segno di $r$, disuguaglianza triangolare, $|xy| \le \frac{x^2 + y^2}{2}$ (che la prof chiama Cauchy–Schwarz); dimostrazioni delle proprietà 4, 6, 7.
2. Esercizi del foglio (3–8): max/min/inf/sup di $(-1)^n n + \frac1n$ separando pari e dispari; differenza di due sommatorie con traslazione d'indice; $2^n > n$ per induzione; $|\mathcal{P}(A)| = 2^n$ per induzione (soluzione in fondo al PDF); due disequazioni con il valore assoluto, una con parametro.
3. Funzioni (inizio): definizione di funzione $f : X \to Y$, dominio e codominio, esempi (insiemi finiti, $2x$, $x^2 + y^2$, successioni); dominio naturale; grafico $\Gamma_f$; test delle rette verticali; dominio come proiezione del grafico.

Teoria

• Valore assoluto (modulo)Il valore assoluto è la distanza di un numero da zero: definizione, proprietà, disuguaglianza triangolare e disequazioni con i moduli.Valore assoluto (modulo) → — proprietà della prof e loro dimostrazioni
• Funzioni - definizione, dominio e graficoUna funzione associa a ogni elemento del dominio un solo valore: dominio naturale, grafico, immagine, antimmagine e metodo grafico.Funzioni - definizione, dominio e grafico → — definizione, dominio naturale, grafico, test delle rette verticali
• Metodo - max min inf sup di un insiemeLa procedura passo per passo per trovare e dimostrare massimo, minimo, inf e sup di un insieme.Metodo - max min inf sup di un insieme → — per l'esercizio 3

Esercizi (foglio della prof)

• Esercizio 3 - max min inf sup di (-1)^n n + 1/n — esercizio 3
• Esercizio 4 - differenza di due sommatorie — esercizio 4
• Esercizio 5 - 2^n maggiore di n per induzione — esercizio 5
• Esercizio 6 - numero di sottoinsiemi (insieme delle parti) — esercizio 6
• Esercizio 14 - disequazione con un modulo — esercizio 7: $x|x-1| - 5x + 5 \ge 0$
• Esercizio 15 - disequazione con due moduli e un parametro — esercizio 8: $\big||x+1| - 5\big| \le a$

(Gli esercizi 1 e 2 del foglio sono nella lezione 5: Esercizio 1 - sup dei razionali con x^2 minore di 2, Esercizio 2 - max min inf sup di (n+2)/n.)

Lezione precedente: Lezione 05 - Massimo, minimo, sup e inf · Lezione successiva: Lezione 07 - Immagine, iniettività, inversa e composizione