Esercizio 1

Testo (Lezione 5, esercizio 1). Determinare, se esiste, in $\mathbb{R}$ e in $\mathbb{Q}$ l'estremo superiore di

$$E = \{x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2\}$$

Questo esercizio è importante per tre motivi: mostra come si usa la caratterizzazione del sup$s = \sup E$ se e solo se $s$ è un maggiorante e per ogni $\varepsilon > 0$ c'è un elemento di $E$ maggiore di $s - \varepsilon$.Estremo superiore (sup) →, mostra che $\mathbb{Q}$ non ha la proprietà dell'estremo superioreIn $\mathbb{R}$ ogni insieme non vuoto e superiormente limitato ha sup; in $\mathbb{Q}$ questo può fallire.Completezza di R (continuità, separazione, sup) →, ed è la definizione di $\sqrt{2}$.

Passo 0: capire il testo

$E$ contiene i numeri razionaliNumeri che si scrivono come frazione $p/q$ con $p, q$ interi e $q \ne 0$.Insiemi numerici (N, Z, Q, R) → il cui quadrato è minore di $2$. Per esempio:

Intuitivamente $E$ è fatto dei razionali compresi tra $-\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ (esclusi). I valori in tabella si avvicinano a $\sqrt{2} \approx 1{,}41421$ da sotto. Ci aspettiamo:

• in $\mathbb{R}$: $\sup E = \sqrt{2}$, che non appartiene a $E$ (non è razionale);
• in $\mathbb{Q}$: il sup non esiste, proprio perché $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.

"In $\mathbb{R}$" e "in $\mathbb{Q}$" indicano dove si cercano i maggiorantiNumeri maggiori o uguali a tutti gli elementi dell'insieme; il sup è il più piccolo di essi.Estremo superiore (sup) →: tra tutti i reali, oppure solo tra i razionali.

Passo 1: $E$ è superiormente limitato

Cerchiamo un maggioranteUn numero $L$ con $x \le L$ per ogni $x \in E$: sta sopra tutti gli elementi.Estremo superiore (sup) →, anche grossolano. Proviamo $L = 2$: dobbiamo mostrare che ogni $x \in E$ soddisfa $x < 2$.

• Se $x \le 0$: certamente $x \le 0 < 2$ ✓.
• Se $x > 0$: sappiamo $x^2 < 2 < 4 = 2^2$. Per numeri positivi, $x^2 < 2^2$ implica $x < 2$ ✓.

Perché "per numeri positivi" il quadrato conserva l'ordine: se $x, y > 0$ e fosse $x \ge y$, moltiplicando per $x > 0$ e per $y > 0$Moltiplicando entrambi i membri di una disuguaglianza per un numero positivo il verso resta lo stesso; per un negativo si inverte.Campi ordinati (Q e R) → si avrebbe $x^2 \ge xy \ge y^2$; quindi $x^2 < y^2$ obbliga $x < y$. Per numeri negativi non vale ($(-3)^2 > 2^2$ ma $-3 < 2$): ecco perché si distinguono i due casi.

Inoltre $E \ne \emptyset$ (per esempio $0 \in E$). Quindi $E$ è non vuoto e superiormente limitatoHa almeno un maggiorante reale, cioè non cresce senza limite.Estremo superiore (sup) →.

Passo 2: in $\mathbb{R}$ il sup esiste

Per la proprietà III di $\mathbb{R}$Proprietà dell'estremo superiore: è ciò che distingue $\mathbb{R}$ da $\mathbb{Q}$, che non la possiede.Completezza di R (continuità, separazione, sup) → (ogni insieme non vuoto superiormente limitato ha sup in $\mathbb{R}$), esiste $s = \sup E \in \mathbb{R}$.

Congettura: $s > 0$ e $s^2 = 2$, cioè $s = \sqrt{2}$.

Verifichiamola: sia $s$ il numero reale positivo con $s^2 = 2$ (esiste in $\mathbb{R}$: è il punto della retta che si ottiene riportando la diagonale del quadrato di lato $1$, per la proprietà di continuità). Mostriamo che soddisfa la caratterizzazione del supDue condizioni equivalenti alla definizione: $s$ è maggiorante, e sotto $s$ di quanto poco si vuole c'è già un elemento.Estremo superiore (sup) →:

$$s = \sup E \iff \begin{cases} 1.\ \ s \ge x \quad \forall x \in E \\ 2.\ \ \forall \varepsilon > 0\ \exists x \in E : x > s - \varepsilon \end{cases}$$

Condizione 1: $s$ è un maggiorante (per assurdo)

Supponiamo per assurdoSi suppone vera la negazione della tesi e si arriva a una contraddizione: allora la tesi è vera.Tecniche di dimostrazione → che esista $x \in E$ con $x > s$.

• Poiché $s > 0$, si ha $x > s > 0$, quindi $x > 0$.
• Per numeri positivi il quadrato conserva l'ordine: $x > s \Rightarrow x^2 > s^2 = 2$.
• Ma $x \in E$ significa $x^2 < 2$. Contraddizione ⚡.

Quindi $x \le s$ per ogni $x \in E$ ✓.

Condizione 2: per ogni $\varepsilon > 0$ c'è un elemento di $E$ sopra $s - \varepsilon$

Riduzione a $\varepsilon$ piccolo. Come osservato nella teoria del sup, basta considerare gli $\varepsilon$ "piccoli a piacereSe la condizione vale per un certo $\varepsilon$, vale anche per ogni $\varepsilon$ più grande: i casi difficili sono quelli piccoli.Estremo superiore (sup) →": se la condizione vale per un $\varepsilon$, vale per tutti quelli più grandi (con lo stesso $x$). Possiamo quindi supporre $\varepsilon < s$, cioè $s - \varepsilon > 0$. Perché ci serve: così l'elemento che troveremo sarà positivo, e potremo elevare al quadrato conservando l'ordine.

Troviamo l'elemento. Ci serve un $x$ che sia (a) razionale, (b) con $x^2 < 2$, (c) con $x > s - \varepsilon$.

• Per il teorema di densità di $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$Tra due numeri reali distinti esiste sempre almeno un numero razionale (anzi, infiniti).Completezza di R (continuità, separazione, sup) →, tra i due reali $s - \varepsilon < s$ esiste un razionale $x$: $$0 < s - \varepsilon < x < s$$
• (a) $x \in \mathbb{Q}$ ✓ (è il motivo per cui si usa la densità: non basterebbe un reale qualsiasi, perché $E$ contiene solo razionali).
• (b) $0 < x < s$, quindi (positivi) $x^2 < s^2 = 2$ ✓. Dunque $x \in E$.
• (c) $x > s - \varepsilon$ ✓.

Entrambe le condizioni valgono, quindi

$$\sup_{\mathbb{R}} E = s = \sqrt{2}$$

e $s \notin E$ (non è razionale, per il teorema della lezione 2: Esercizio 9 - la radice di 2 non è razionale), quindi $E$ non ha massimoIl massimo è un elemento dell'insieme che è anche maggiorante; se esiste coincide con il sup, che qui non sta in $E$.Estremo superiore (sup) →.

Perché non si può prendere semplicemente $x = s - \frac{\varepsilon}{2}$ (come si farebbe per un intervallo di reali)? Perché $s - \frac{\varepsilon}{2}$ potrebbe non essere razionale (per esempio con $\varepsilon = 1$ è $\sqrt{2} - \frac12$, irrazionale), e allora non starebbe in $E$. La densità garantisce che un razionale nella zona giusta c'è comunque.

Passo 3: in $\mathbb{Q}$ il sup non esiste

In $\mathbb{Q}$ il sup sarebbe un razionale $t$ che è il più piccolo dei maggioranti razionali di $E$. Mostriamo che non c'è (per assurdoSi suppone che il sup razionale esista e si arriva a una contraddizione.Tecniche di dimostrazione →).

Supponiamo che esista un tale $t \in \mathbb{Q}$.

1. $t$ è un maggiorante di $E$ (e un maggiorante razionale è anche un maggiorante reale). Poiché $s = \sqrt{2}$ è il più piccolo maggiorante reale, $t \ge s$.
2. $t \ne s$, perché $t$ è razionale e $s$ no. Quindi $t > s$.
3. Per la densità di $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$Tra due reali distinti c'è sempre un razionale: qui tra $s$ e $t$.Completezza di R (continuità, separazione, sup) → esiste un razionale $q$ con $s < q < t$.
4. $q$ è un maggiorante di $E$: per ogni $x \in E$, $x \le s < q$.
5. Quindi $q$ è un maggiorante razionale più piccolo di $t$: contraddizione con la scelta di $t$ ⚡.

$$\sup_{\mathbb{Q}} E \ \text{ non esiste}$$

Questo è l'esempio che mostra che $\mathbb{Q}$ non ha la proprietà III (esistenza del sup): $E$ è un sottoinsieme di $\mathbb{Q}$, non vuoto e limitato, senza sup in $\mathbb{Q}$.

Conseguenza: la definizione di $\sqrt{2}$

L'esercizio mostra che

$$\sqrt{2} = \sup\{x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2\}$$

e questa uguaglianza si può prendere come definizioneIn $\mathbb{R}$ la radice quadrata di $y \ge 0$ si definisce come sup dei razionali il cui quadrato è minore di $y$.Completezza di R (continuità, separazione, sup) → di $\sqrt{2}$ (il sup esiste in $\mathbb{R}$ per la proprietà III). In generale, per $y \ge 0$: $\sqrt{y} = \sup\{x \in \mathbb{Q} : x^2 < y\}$.

Regola pratica

Se $E \subseteq \mathbb{Q}$, per trovare $\inf E$ e $\sup E$ (condizione 2) si usa sempre il teorema di densità di $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$Garantisce un razionale in ogni intervallo di reali, quindi un elemento di $E$ dove serve.Completezza di R (continuità, separazione, sup) →.

Errori comuni

• Dire "$\sup E = \sqrt{2}$" anche in $\mathbb{Q}$: in $\mathbb{Q}$ il numero $\sqrt{2}$ non esiste, quindi non può essere il sup.
• Elevare al quadrato una disuguaglianza senza controllare i segniTra numeri positivi il quadrato conserva l'ordine; con numeri negativi può invertirlo.Campi ordinati (Q e R) → (per questo si suppone $s - \varepsilon > 0$).
• Usare $x = s - \frac{\varepsilon}{2}$, che non è detto sia razionale.