Esercizio 20

Testo (Lezione 9, esercizio 1 del secondo foglio). Scrivere $2^x$ e $\log_{1/2}(x + 1)$ in base $e \approx 2{,}718\ldots$ (il numero di Nepero).

L'idea è che ogni esponenziale e ogni logaritmo si possono riportare alla base $e$ usando le proprietà del logaritmoPer esempio $a^{\log_a x} = x$, $\log_a(x^\alpha) = \alpha \log_a x$ e il cambiamento di base $\log_b x = \log_b a \cdot \log_a x$.Esponenziale e logaritmo →. Notazione: $\log_e x = \ln x$ (la prof scrive anche $\log x$).

1. $2^x$ in base $e$

Idea: ogni numero positivo $y$ si scrive come $e^{\ln y}$, perché $\ln$ è l'inversa$\ln$ è l'inversa di $e^x$: quindi $e^{\ln y} = y$ per ogni $y > 0$.Funzioni iniettive, suriettive e inverse → dell'esponenziale in base $e$. Applichiamolo a $y = 2^x$ (che è $> 0$):

$$2^x = e^{\ln(2^x)}$$

Poi usiamo la proprietà $\ln(a^\alpha) = \alpha \ln a$Il logaritmo di una potenza è l'esponente per il logaritmo della base: porta l'esponente "giù" davanti.Esponenziale e logaritmo → con $a = 2$ e $\alpha = x$:

$$2^x = e^{x \ln 2}$$

Controllo numerico: $x = 3$: $2^3 = 8$; $e^{3 \ln 2} = e^{3 \cdot 0{,}6931} = e^{2{,}0794} \approx 8{,}000$ ✓.

In generale: $a^x = e^{x \ln a}$ per ogni $a > 0$.

2. $\log_{1/2}(x + 1)$ in base $e$

(Il dominioIl logaritmo esiste solo per argomenti positivi: serve $x + 1 > 0$, cioè $x > -1$. è $x > -1$.)

Cambiamento di baseFormula per passare da un logaritmo in base $a$ a uno in base $b$: $\log_b y = \log_b a \cdot \log_a y$.Esponenziale e logaritmo → ($\log_b y = \log_b a \cdot \log_a y$) con $b = \frac12$, $a = e$, $y = x + 1$:

$$\log_{1/2}(x+1) = \log_{1/2} e \cdot \ln(x + 1)$$

Calcoliamo $\log_{1/2} e$ con la formula $\log_b a = \dfrac{1}{\log_a b}$:

$$\log_{1/2} e = \frac{1}{\ln\frac12} = \frac{1}{\ln 1 - \ln 2} = \frac{1}{0 - \ln 2} = -\frac{1}{\ln 2}$$

(si è usato $\ln\frac{x}{y} = \ln x - \ln y$Il logaritmo di un quoziente è la differenza dei logaritmi (per $x, y > 0$).Esponenziale e logaritmo → e $\ln 1 = 0$, perché $e^0 = 1$).

Quindi

$$\log_{1/2}(x+1) = -\frac{1}{\ln 2} \cdot \ln(x+1) = -\frac{\ln(x+1)}{\ln 2}$$

Controllo numerico: $x = 3$: $\log_{1/2} 4 = -2$ (perché $(\frac12)^{-2} = 4$); $-\frac{\ln 4}{\ln 2} = -\frac{2 \ln 2}{\ln 2} = -2$ ✓.

Osservazione sul segno. Il fattore $-\frac{1}{\ln 2}$ è negativo: ritroviamo che $\log_{1/2}$ è decrescenteCon base compresa tra 0 e 1 il logaritmo è strettamente decrescente: al crescere dell'argomento il valore diminuisce., perché è $\ln$ (crescente) moltiplicato per un numero negativo.

Morale

$$a^x = e^{x \ln a} \qquad\qquad \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a}$$

Esponenziali e logaritmi in qualsiasi base si possono sempre riportare alla base $e$: per questo nel seguito del corso si lavorerà quasi solo con $e^x$ e $\ln x$.