Lezione 5 — Massimo, minimo, sup e inf

Data: lunedì 6 ottobre 2025 · Capitolo 1: I numeri · Videolezione: n. 5 della playlist ("Lezione 5", 1h35)

Argomenti trattati

1. Massimo e minimo: definizioni, esempi $E_1, E_2, E_3$; ogni insieme finito ha min e max; possono non esistere anche se l'insieme è limitato; teorema di unicità (con dimostrazione); caratterizzazione analitica.
2. Estremo superiore e inferiore: sup = minimo dei maggioranti, inf = massimo dei minoranti; esempi; proprietà (min $\Rightarrow$ inf = min, unicità).
3. Proprietà III di $\mathbb{R}$ (esistenza del sup) e dimostrazione che è equivalente alla proprietà di separazione; $\mathbb{R}$ ha le proprietà I, II, III, $\mathbb{Q}$ no.
4. Caratterizzazione di inf e sup con $\varepsilon$; $\inf = -\infty$, $\sup = +\infty$; osservazione "$\varepsilon$ piccolo a piacere".
5. Esercizi: sup di $\{x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2\}$ in $\mathbb{R}$ e in $\mathbb{Q}$ (definizione di $\sqrt{2}$); max, min, inf, sup di $\left\{\frac{n+2}{n}\right\}$. Regole: per insiemi di razionali si usa la densità, per insiemi $\{x_n\}$ l'archimedeità.

Teoria

• Estremo superiore (sup)Maggioranti e minoranti, massimo e minimo, estremo superiore (il più piccolo dei maggioranti) e inferiore, con la caratterizzazione con epsilon.Estremo superiore (sup) → — max e min, unicità, sup e inf, proprietà, caratterizzazione, $\varepsilon$ piccolo a piacere
• Completezza di R (continuità, separazione, sup)Le tre proprietà equivalenti che R ha e Q no: continuità, separazione ed esistenza del sup; densità di Q in R.Completezza di R (continuità, separazione, sup) → — proprietà III, equivalenza con la separazione, definizione di $\sqrt{y}$
• Metodo - max min inf sup di un insiemeLa procedura passo per passo per trovare e dimostrare massimo, minimo, inf e sup di un insieme.Metodo - max min inf sup di un insieme → — la procedura da seguire negli esercizi
• Archimedeità di NPer ogni numero reale esiste un naturale più grande: serve a trovare n con 1/n più piccolo di qualunque epsilon.Archimedeità di N →

Esercizi

• Esercizio 1 - sup dei razionali con x^2 minore di 2 — esercizio 1 della lezione
• Esercizio 2 - max min inf sup di (n+2)/n — esercizio 2 della lezione
• Esercizio 13 - razionali minori di 3 — l'esempio $E_3$ completo

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