Esercizio 26

Testo (Lezione 11, esercizio 7 del foglio). Determinare il dominio di

$$f(x) = \mathrm{settcosh}\left( \left(\frac{e}{4}\right)^{x+1} - \left(\frac{e}{4}\right)^{3|x|} + 1 \right)$$

Passo 1: la condizione di esistenza

Il settore coseno iperbolicoL'inversa di $\cosh$ su $[0, +\infty)$: esiste solo per argomenti $\ge 1$.Funzioni iperboliche → richiede argomento $\ge 1$:

$$\left(\frac{e}{4}\right)^{x+1} - \left(\frac{e}{4}\right)^{3|x|} + 1 \ge 1 \iff \left(\frac{e}{4}\right)^{x+1} \ge \left(\frac{e}{4}\right)^{3|x|}$$

(si è tolto $1$ da entrambi i membri).

Passo 2: confrontare gli esponenti (attenzione alla base!)

Entrambi i membri sono potenze della stessa base $a = \frac{e}{4} \approx \frac{2{,}718}{4} \approx 0{,}68$, che è minore di $1$. L'esponenziale con base minore di 1Per $0 < a < 1$ la funzione $a^x$ è strettamente decrescente: un esponente più grande dà un valore più piccolo.Esponenziale e logaritmo → è strettamente decrescente:

$$a^{X_1} \ge a^{X_2} \iff X_1 \le X_2 \qquad (0 < a < 1)$$

Quindi il verso si inverte:

$$\left(\frac{e}{4}\right)^{x+1} \ge \left(\frac{e}{4}\right)^{3|x|} \iff x + 1 \le 3|x|$$

Passo 3: risolvere $x + 1 \le 3|x|$

Due casi, per la definizione del modulo$\lvert x \rvert = x$ per $x \ge 0$ e $\lvert x \rvert = -x$ per $x < 0$.Valore assoluto (modulo) →:

$$\begin{cases} x \ge 0 \\ x + 1 \le 3x \end{cases} \ \cup \ \begin{cases} x < 0 \\ x + 1 \le -3x \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge 0 \\ x \ge \frac12 \end{cases} \ \cup \ \begin{cases} x < 0 \\ x \le -\frac14 \end{cases}$$

(primo: $1 \le 2x$; secondo: $4x \le -1$). Quindi $x \ge \frac12$ oppure $x \le -\frac14$.

Risultato

$$\mathrm{Dom}(f) = \left(-\infty, -\tfrac14\right] \cup \left[\tfrac12, +\infty\right)$$

Controllo: $x = 0$: argomento $= \frac{e}{4} - 1 + 1 \approx 0{,}68 < 1$, escluso ✓. $x = 1$: $\left(\frac e4\right)^2 - \left(\frac e4\right)^3 + 1 \approx 0{,}46 - 0{,}31 + 1 = 1{,}15 \ge 1$ ✓.

Errori comuni

• Non invertire il verso confrontando gli esponenti con una base minore di $1$: $\frac e4 < 1$ perché $e < 4$.
• Dimenticare il dominio di $\mathrm{settcosh}$ (argomento $\ge 1$, non $> 0$).