Lezione 3 — Binomio di Newton e principio di induzione

Data: giovedì 2 ottobre 2025 · Capitolo 1: I numeri · Videolezione: n. 3 della playlist ("Lezione 3", 59 min)

Argomenti trattati

1. Binomio di Newton: enunciato, calcolo dei coefficienti binomiali (esempi $\binom{5}{3}$, $\binom{n}{0}$, $\binom{n}{1}$, $\binom{n}{n-3}$), sviluppi per $n = 0, 1, 2, 5$.
2. Proprietà dei coefficienti binomiali: simmetria $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ e formula di Stifel $\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$ (con spiegazione combinatoria); triangolo di Tartaglia.
3. Principio di induzione: enunciato come teorema ("se e solo se") con dimostrazione per assurdo; utilità nelle dimostrazioni e nelle definizioni per ricorrenza (il fattoriale).
4. Esercizi sull'induzione: somma dei primi $n$ numeri, disuguaglianza di Bernoulli, binomio di Newton (dimostrazione in fondo al PDF, non richiesta).
5. Inizio di "$\mathbb{Q}$ e $\mathbb{R}$ come campi ordinati": finora gli insiemi numerici sono stati definiti solo intuitivamente; sono insiemi con somma, prodotto e una relazione d'ordine $\le$, ma con proprietà diverse in $\mathbb{N}, \mathbb{Z}$ rispetto a $\mathbb{Q}, \mathbb{R}$ (continua nella lezione 4).

Teoria

• Binomio di NewtonLa formula per sviluppare (a+b)^n con i coefficienti binomiali.Binomio di Newton → — enunciato, sviluppi, uso del triangolo di Tartaglia
• Fattoriale e coefficienti binomialiFattoriale, permutazioni, disposizioni, combinazioni e coefficiente binomiale n su k, con il triangolo di Tartaglia.Fattoriale e coefficienti binomiali → — esempi di calcolo, simmetria, Stifel, triangolo di Tartaglia
• Principio di induzionePer dimostrare una proprietà per ogni n basta il passo base e il passo induttivo da n a n+1.Principio di induzione → — enunciato, dimostrazione, definizioni per ricorrenza
• Insiemi numerici (N, Z, Q, R)Naturali, interi, razionali e reali, perché la radice di 2 obbliga a passare da Q a R, e gli intervalli.Insiemi numerici (N, Z, Q, R) → — punto di partenza per i campi ordinati

Esercizi

• Esercizio 10 - somma dei primi n numeri per induzione — esercizio 1 della lezione
• Esercizio 11 - disuguaglianza di Bernoulli — esercizio 2 della lezione (da ricordare)
• Esercizio 12 - binomio di Newton per induzione — esercizio 3 della lezione (non richiesto)
• Altri esercizi di induzione: Esercizio 5 - 2^n maggiore di n per induzione, Esercizio 6 - numero di sottoinsiemi (insieme delle parti)

Lezione precedente: Lezione 02 - Dimostrazioni, sommatorie e calcolo combinatorio · Lezione successiva: Lezione 04 - Campi ordinati e proprietà di R