Lezione 2 — Dimostrazioni, sommatorie e calcolo combinatorio

Data: mercoledì 1 ottobre 2025 · Capitolo 1: I numeri · Videolezione: n. 2 della playlist ("Lezione 2", 1h39)

Argomenti trattati

1. Logica nelle dimostrazioni: dimostrazione diretta ($p \Rightarrow q$, condizione sufficiente), indiretta ($\text{non}\,q \Rightarrow \text{non}\,p$, condizione necessaria), per assurdo ($p \wedge \text{non}\,q \Rightarrow$ contraddizione). Esempio: $n$ dispari $\Rightarrow$ $n^2$ dispari.
2. Teorema: se $c^2 = 2$ allora $c \notin \mathbb{Q}$, con dimostrazione; conseguenze (l'equazione $x^2 = 2$ non ha soluzioni in $\mathbb{Q}$; $\mathbb{Q}$ non riempie la retta) e motivazione dei reali.
3. Sommatorie: notazione, indice muto; proprietà (linearità, additività, traslazione e riflessione dell'indice).
4. Sommatorie notevoli: somma dei primi $n$ numeri; somma geometrica con dimostrazione intuitiva e formale; enunciato del binomio di Newton.
5. Fattoriale e calcolo combinatorio: $n!$, permutazioni, disposizioni, combinazioni, definizione del coefficiente binomiale $\binom{n}{k}$.

Teoria

• Tecniche di dimostrazioneDimostrazione diretta, per contronominale e per assurdo di un teorema del tipo ipotesi implica tesi.Tecniche di dimostrazione → — le tre forme di dimostrazione, condizione necessaria e sufficiente
• Insiemi numerici (N, Z, Q, R)Naturali, interi, razionali e reali, perché la radice di 2 obbliga a passare da Q a R, e gli intervalli.Insiemi numerici (N, Z, Q, R) → — sezione "Perché ℚ non basta"
• SommatorieIl simbolo di sommatoria, le sue proprietà (linearità, additività, cambio di indice) e le somme notevoli di Gauss e geometrica.Sommatorie → — proprietà, traslazione e riflessione, sommatorie notevoli (Gauss, geometrica)
• Fattoriale e coefficienti binomialiFattoriale, permutazioni, disposizioni, combinazioni e coefficiente binomiale n su k, con il triangolo di Tartaglia.Fattoriale e coefficienti binomiali → — fattoriale, permutazioni, disposizioni, combinazioni, $\binom{n}{k}$
• Binomio di NewtonLa formula per sviluppare (a+b)^n con i coefficienti binomiali.Binomio di Newton → — enunciato (la dimostrazione è nella lezione 3)

Esercizi

• Esercizio 8 - n dispari implica n^2 dispari — esercizio 1 della lezione (dimostrazione diretta)
• Esercizio 9 - la radice di 2 non è razionale — esercizio 2 della lezione (per assurdo)
• Esercizio 4 - differenza di due sommatorie — esercizio di allenamento sul cambio di indice

Lezione precedente: Lezione 01 - Logica e insiemistica · Lezione successiva: Lezione 03 - Binomio di Newton e principio di induzione