Esercizio 3

Testo (Lezione 6, esercizio 3 del foglio). Determinare in $\mathbb{R}$, se esistono, il minimo, il massimo, l'estremo inferiore e l'estremo superiore dell'insieme

$$E = \left\{ x_n = (-1)^n \, n + \frac{1}{n} : n \in \mathbb{N},\ n \ne 0 \right\}$$

Passo 0: capire il testo

Che cos'è $E$. È l'insieme dei numeri $x_n$ che si ottengono al variare di $n$. Il simbolo $x_n$ è solo il nome del numero che corrisponde al valore $n$.

Chi è $n$. $n \in \mathbb{N}$ con $n \ne 0$, quindi $n = 1, 2, 3, 4, \dots$ La condizione $n \ne 0$ serve perché nella formula compare $\frac{1}{n}$, che per $n = 0$ non esisterebbe.

Come si legge $(-1)^n \, n$. È il prodotto di due cose: il segno $(-1)^n$ e il numero $n$. Quindi $x_n = \big((-1)^n \cdot n\big) + \frac{1}{n}$. Il "$(-1)^n$" non moltiplica anche $\frac{1}{n}$: quello viene sommato dopo.

Cosa fa $(-1)^n$. Elevare $-1$ a una potenza intera dà:

• $(-1)^n = +1$ se $n$ è pari (per esempio $(-1)^2 = 1$, $(-1)^4 = 1$);
• $(-1)^n = -1$ se $n$ è dispari (per esempio $(-1)^1 = -1$, $(-1)^3 = -1$).

Perché: ogni coppia di fattori $(-1)\cdot(-1)$ dà $+1$, quindi con un numero pari di fattori si ottiene $+1$ e con un numero dispari resta un $-1$ in più.

Questo fatto è la chiave dell'esercizio: il segno alterna, quindi conviene separare il caso pari dal caso dispariNel metodo per max/min/inf/sup, se la formula cambia con la parità di $n$ si studiano a parte i due sottoinsiemi.Metodo - max min inf sup di un insieme →.

Definizioni che useremo (dettagli in Estremo superiore (sup)Maggioranti e minoranti, massimo e minimo, estremo superiore (il più piccolo dei maggioranti) e inferiore, con la caratterizzazione con epsilon.Estremo superiore (sup) →): maggiorante, minorante, sup, inf, max, min, e il significato di "insieme limitato superiormente/inferiormenteInsieme che ha almeno un maggiorante (rispettivamente un minorante) reale.Estremo superiore (sup) →".

Passo 1: separare pari e dispari

Ogni naturale $n \ge 1$ è pari oppure dispari, mai entrambi.

$n$ pari. Allora $(-1)^n = 1$ e

$$x_n = 1 \cdot n + \frac{1}{n} = n + \frac{1}{n}$$

$n$ dispari. Allora $(-1)^n = -1$ e

$$x_n = (-1) \cdot n + \frac{1}{n} = -n + \frac{1}{n}$$

Come si scrivono pari e dispari con una formula. Un naturale è pari se è del tipo $2k$ (due volte un naturale), dispari se è del tipo $2k + 1$. Useremo queste forme nelle dimostrazioni, perché permettono di "costruire" un $n$ del tipo voluto partendo da un naturale $k$ qualsiasi.

Come lo imposta la prof: $E = E_P \cup E_D$. Si scrive $E$ come unione dei due sottoinsiemi $$E_P = \left\{ n + \tfrac{1}{n} : n \text{ pari} \right\} \qquad E_D = \left\{ -n + \tfrac{1}{n} : n \text{ dispari} \right\}$$ e si usano due regole generali per l'unione$A \cup B$ contiene gli elementi che stanno in $A$ oppure in $B$ (o in entrambi).Operazioni tra insiemi → di due insiemi: $$\inf E = \min\{\inf E_P, \inf E_D\} \qquad \sup E = \max\{\sup E_P, \sup E_D\}$$ (il punto più in basso dell'unione è il più basso tra i due "punti più bassi", e lo stesso per il più alto). In particolare se uno dei due pezzi ha $\sup = +\infty$, anche $\sup E = +\infty$; se uno ha $\inf = -\infty$, anche $\inf E = -\infty$. Così basta studiare $E_P$ per il sup ed $E_D$ per l'inf.

La scelta di $n$ della prof per $\inf E_D = -\infty$. Fissato $\ell$, si osserva che per $n$ dispari $x_n = -n + \frac{1}{n} \le -n + 1$ (perché $\frac{1}{n} \le 1$), quindi basta un $n$ dispari con $-n + 1 < \ell$, cioè $n > 1 - \ell$. Per l'archimedeitàPer ogni numero reale esiste un naturale più grande di lui.Archimedeità di N → esiste $m \in \mathbb{N}$ con $m > 1 - \ell$: se $m$ è dispari si prende $n = m$, se è pari si prende $n = m + 1$ (che è dispari ed è ancora $> 1 - \ell$). Nel Passo 5 qui sotto si fa lo stesso ragionamento scrivendo direttamente $n$ nella forma $2k + 1$.

Passo 2: calcolare alcuni valori

Cosa osserviamo.

• I termini pari sono positivi e crescono sempre di più: $2{,}5;\ 4{,}25;\ 6{,}167;\ 8{,}125;\ \dots$
• I termini dispari sono negativi (a parte il primo, che vale $0$) e scendono sempre di più: $0;\ -2{,}667;\ -4{,}8;\ -6{,}857;\ \dots$
• Il termine $\frac{1}{n}$ è una piccola correzione che diventa trascurabile; contano soprattutto $+n$ e $-n$.

Il grafico mostra due "rami" che si allontanano in direzioni opposte: nessuna retta orizzontale può stare sopra tutti i punti o sotto tutti i punti.

Passo 3: la congettura

Dai valori ipotizziamo che l'insieme non sia limitato né superiormente né inferiormente (il confronto con l'Esercizio 2Lì l'insieme era limitato: max $3$ e inf $1$. Qui invece no.Esercizio 2 - max min inf sup di (n+2)/n → è istruttivo). Se è così:

• $\sup E = +\infty$ e $\inf E = -\infty$;
• non esistono né il massimo né il minimo.

Ora lo dimostriamo.

Cosa significa "limitato superiormente". $E$ è limitato superiormente se esiste un numero reale $M$ con $x \le M$ per ogni $x \in E$ (cioè se ha almeno un maggiorante reale).

Come si negaNegando "esiste $M$ tale che per ogni $x$ vale $x \le M$" i quantificatori si scambiano: "per ogni $M$ esiste $x$ con $x > M$".Logica e quantificatori →. $E$ non è limitato superiormente se per ogni numero reale $M$ esiste almeno un $x \in E$ con $x > M$. Cioè: qualunque "tetto" $M$ proviamo, c'è un elemento dell'insieme che lo sfonda. Dimostrare questo significa: dato $M$ arbitrario, costruire un elemento di $E$ più grande di $M$.

Passo 4: $E$ non è limitato superiormente, quindi $\sup E = +\infty$

Sia $M \in \mathbb{R}$ un numero qualsiasiPer dimostrare un "per ogni $M$" si fissa un $M$ arbitrario, senza sceglierlo, e si ragiona su di lui.Logica e quantificatori → (anche grandissimo). Dobbiamo trovare un elemento di $E$ maggiore di $M$.

1. Quale ramo usare. I termini che crescono sono quelli con $n$ pari, dove $x_n = n + \frac{1}{n}$. Useremo quelli.
2. Trovare un naturale grande. Per la proprietà archimedeaPer ogni numero reale esiste un naturale più grande: serve a trovare n con 1/n più piccolo di qualunque epsilon.Archimedeità di N → esiste un naturale $k \in \mathbb{N}$ con $k > M$.
3. Costruire un $n$ pari e valido. Poniamo $n = 2k + 2$.
   • È pari, perché $2k + 2 = 2(k+1)$ è il doppio di un naturale.
   • È $\ge 2$, quindi $n \ne 0$ e $n$ è un indice ammesso. (Perché non $n = 2k$? Perché se fosse $k = 0$ si avrebbe $n = 0$, non ammesso. Con $2k+2$ non c'è questo problema.)
   • È maggiore di $k$: $n = 2k + 2 = k + (k + 2) > k$, perché $k + 2 > 0$. Quindi $n > k > M$, cioè $n > M$.
4. Calcolare $x_n$. Essendo $n$ pari, $x_n = n + \frac{1}{n}$. Poiché $\frac{1}{n} > 0$ (con $n \ge 1$ positivo), si ha $x_n > n$.
5. Concludere. $x_n > n > M$, quindi $x_n > M$ ✓.

Quindi, qualunque sia $M \in \mathbb{R}$, esiste un elemento di $E$ più grande di $M$: nessun numero reale è un maggiorante di $E$. Dunque $E$ non è limitato superiormenteNessun numero reale è un maggiorante; per convenzione si scrive $\sup E = +\infty$.Estremo superiore (sup) → e

$$\boxed{\sup E = +\infty}$$

Esempio numerico. Sia $M = 100$. Prendiamo $k = 101 > 100$. Allora $n = 2 \cdot 101 + 2 = 204$ e $x_{204} = 204 + \frac{1}{204} \approx 204{,}005 > 100$ ✓.

Il massimo non esiste

Per la caratterizzazione del massimoIl massimo è un elemento dell'insieme che è anche maggiorante: servono entrambe le cose.Estremo superiore (sup) →, un massimo $M$ dovrebbe essere un elemento di $E$ e un maggiorante di $E$. Ma abbiamo appena visto che $E$ non ha alcun maggiorante reale. Quindi non può esistere il massimo.

(Verifica diretta: se $m \in E$ fosse il massimo, per quanto sopra con $M = m$ troveremmo un elemento $x_n > m$ di $E$, assurdoDimostrazione per assurdo: supponendo che il massimo esista si arriva a una contraddizione, quindi non esiste.Tecniche di dimostrazione →.)

$$\boxed{\max E \text{ non esiste}}$$

Passo 5: $E$ non è limitato inferiormente, quindi $\inf E = -\infty$

Cosa dimostrare. Per ogni $M \in \mathbb{R}$ esiste $x \in E$ con $x < M$ (qualunque "pavimento" $M$ proviamo, c'è un elemento che lo sfonda verso il basso).

Sia $M \in \mathbb{R}$ qualsiasi.

1. Quale ramo usare. Questa volta servono i termini che scendono: $n$ dispari, dove $x_n = -n + \frac{1}{n}$.
2. Trovare un naturale grande. Per la proprietà archimedeaPer ogni numero reale, qui $1 - M$, esiste un naturale più grande di lui.Archimedeità di N → esiste $k \in \mathbb{N}$ con $k > 1 - M$. (Perché proprio $1 - M$? Lo vediamo al punto 5: ci serve $n > 1 - M$.)
3. Costruire un $n$ dispari. Poniamo $n = 2k + 1$.
   • È dispari per costruzione.
   • È $\ge 1$, quindi è un indice ammesso (anche per $k = 0$ vale $n = 1$).
   • Vale $n > k$ perché $2k + 1 = k + (k + 1) > k$. Quindi $n > k > 1 - M$.
4. Stimare il termine $\frac{1}{n}$. Da $n \ge 1$, moltiplicando per $\frac{1}{n} > 0$Moltiplicando entrambi i membri per un numero positivo il verso della disuguaglianza resta lo stesso.Campi ordinati (Q e R) → si ottiene $1 \ge \frac{1}{n}$, quindi $\frac{1}{n} \le 1$.
5. Calcolare $x_n$. Essendo $n$ dispari, $x_n = -n + \frac{1}{n} \le -n + 1$. Da $n > 1 - M$, moltiplicando per $-1$ (cambia il versoMoltiplicando entrambi i membri per un numero negativo la disuguaglianza si inverte: $<$ diventa $>$.Campi ordinati (Q e R) →) si ha $-n < M - 1$, e sommando $1$: $-n + 1 < M$.
6. Concludere. $x_n \le -n + 1 < M$, quindi $x_n < M$ ✓.

Quindi nessun numero reale è un minoranteUn numero minore o uguale a tutti gli elementi dell'insieme; se non ce n'è nessuno si scrive $\inf E = -\infty$.Estremo superiore (sup) → di $E$, e

$$\boxed{\inf E = -\infty}$$

Esempio numerico. Sia $M = -100$. Serve $k > 1 - (-100) = 101$, prendiamo $k = 102$. Allora $n = 2 \cdot 102 + 1 = 205$ e $x_{205} = -205 + \frac{1}{205} \approx -204{,}995 < -100$ ✓.

Il minimo non esiste

Il minimo dovrebbe essere un elemento di $E$ che è anche minorante. Ma $E$ non ha alcun minorante reale. Quindi:

$$\boxed{\min E \text{ non esiste}}$$

Nota su $+\infty$ e $-\infty$

Scrivere $\sup E = +\infty$ è la convenzione per dire "$E$ non è limitato superiormente". In $\mathbb{R}$ non esiste un numero che sia il sup; si usa il simbolo $+\infty$ (stessa idea per $\inf E = -\infty$). Se nel corso la prof preferisce dire "il sup non esiste in $\mathbb{R}$", il contenuto è lo stesso: l'insieme è illimitato.

Perché serve distinguere pari e dispari

I due rami vanno in direzioni opposte, quindi nessun singolo ragionamento vale per tutti gli $n$. Per il sup usiamo i pari (che salgono), per l'inf usiamo i dispari (che scendono). Se per l'inf scegliessimo un $n$ pari troveremmo $x_n > 0$ e non ci porterebbe sotto nessun $M$ negativo.

Errori comuni

• Trattare $(-1)^n$ come un numero fisso. Cambia con la parità di $n$.
• Dire "il massimo è l'ultimo termine". Non c'è un ultimo termine: $n$ cresce senza fine.
• Dimostrare l'illimitatezza con esempi ("$x_{204} \approx 204$ è grande"). Serve mostrare che per ogni $M$ si trova un elemento più grande.
• Dimenticare che $n \ne 0$ quando si costruisce $n$ dalla formula ($2k$ può valere $0$, per questo si usa $2k + 2$).

Risultato finale