Esercizio 23

Testo (Lezione 10, esercizio 4 del foglio). Risolvere l'equazione

$$2^{|x+1| + 1} = e^{3 \log 2 + 2x}$$

(qui $\log = \ln$, logaritmo in base $e$).

Passo 0: la regola d'oro

Quando in un'equazione (o disequazione) compaiono esponenziali con basi diverse ($2$ ed $e$), prima di tutto si porta tutto nella stessa base. Conviene la base $e$, usando $a^t = e^{t \ln a}$Ogni esponenziale si riscrive in base $e$: $a^t = e^{\ln(a^t)} = e^{t \ln a}$.Esponenziale e logaritmo →.

Passo 1: stessa base

$$2^{|x+1| + 1} = e^{\ln\left(2^{|x+1|+1}\right)} = e^{(|x+1| + 1)\ln 2}$$

L'equazione diventa

$$e^{(|x+1| + 1)\ln 2} = e^{3\ln 2 + 2x}$$

Passo 2: uguagliare gli esponenti

$e^{X_1} = e^{X_2} \iff X_1 = X_2$, perché l'esponenziale è iniettivaPunti diversi hanno immagini diverse: se due potenze di $e$ sono uguali, gli esponenti sono uguali.Funzioni iniettive, suriettive e inverse → (è strettamente crescente). Quindi

$$(|x + 1| + 1)\ln 2 = 3\ln 2 + 2x$$

Passo 3: togliere il modulo

Per la definizione del modulo$\lvert t \rvert = t$ se $t \ge 0$, $\lvert t \rvert = -t$ se $t < 0$.Valore assoluto (modulo) →: $|x + 1| = x + 1$ se $x \ge -1$, $|x+1| = -(x+1)$ se $x < -1$. Due casi.

Caso 1: $x \ge -1$

$$(x + 1 + 1)\ln 2 = 3\ln 2 + 2x \iff x\ln 2 + 2\ln 2 = 3\ln 2 + 2x \iff x(\ln 2 - 2) = \ln 2$$

$$x_1 = \frac{\ln 2}{\ln 2 - 2} = -\frac{\ln 2}{2 - \ln 2}$$

È accettabile? Serve $x_1 \ge -1$, cioè $-\frac{\ln 2}{2 - \ln 2} \ge -1 \iff \frac{\ln 2}{2 - \ln 2} \le 1$. Il denominatore è positivo ($\ln 2 < \ln e = 1 < 2$, perché $2 < e$ e $\ln$ è crescenteSe $a < b$ allora $\ln a < \ln b$: il logaritmo in base $e > 1$ conserva l'ordine.), quindi moltiplicando: $\ln 2 \le 2 - \ln 2 \iff 2\ln 2 \le 2 \iff \ln 2 \le 1$, vero. $x_1$ è soluzione.

Numericamente $\ln 2 \approx 0{,}6931$, quindi $x_1 \approx -\frac{0{,}6931}{1{,}3069} \approx -0{,}530$.

Caso 2: $x < -1$

$$(-x - 1 + 1)\ln 2 = 3\ln 2 + 2x \iff -x\ln 2 = 3\ln 2 + 2x \iff -x(2 + \ln 2) = 3 \ln 2$$

$$x_2 = -\frac{3\ln 2}{2 + \ln 2} \approx -\frac{2{,}079}{2{,}693} \approx -0{,}772$$

È accettabile? Servirebbe $x_2 < -1$, cioè $\frac{3\ln 2}{2 + \ln 2} > 1 \iff 3\ln 2 > 2 + \ln 2 \iff 2\ln 2 > 2 \iff \ln 2 > 1$: falso. $x_2$ non è soluzione (la prof lo lascia da verificare: "fate voi").

Risultato

$$x = -\frac{\ln 2}{2 - \ln 2} \approx -0{,}530$$

Verifica numerica: con $x \approx -0{,}5304$: a sinistra $|x + 1| + 1 \approx 1{,}4696$ e $2^{1{,}4696} \approx 2{,}770$; a destra $3\ln 2 + 2x \approx 2{,}0794 - 1{,}0608 = 1{,}0186$ ed $e^{1{,}0186} \approx 2{,}769$ ✓.

Errori comuni

• Uguagliare gli esponenti con basi diverse ($|x+1| + 1 = 3\log 2 + 2x$): sbagliato, prima si porta tutto alla stessa base.
• Non controllare se le soluzioni rispettano la condizione del caso ($x \ge -1$ oppure $x < -1$).