Funzioni monotone, pari e dispari

Definizioni per $f : X \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $X \ne \emptyset$. Lezione 8. Prerequisiti: Funzioni - definizione, dominio e graficoUna funzione associa a ogni elemento del dominio un solo valore: dominio naturale, grafico, immagine, antimmagine e metodo grafico.Funzioni - definizione, dominio e grafico →, Funzioni iniettive, suriettive e inverseIniettività (test delle rette orizzontali), suriettività, biunivocità e funzione inversa con il suo grafico simmetrico rispetto a y = x.Funzioni iniettive, suriettive e inverse →.

Monotonia

$f : X \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ si dice:

• Se $f$ è crescente o decrescente su $X$ si dice monotona su $X$.
• Se è strettamente crescente o strettamente decrescente si dice strettamente monotona su $X$.

In parole: crescente = "se la $x$ aumenta, la $y$ non diminuisce"; strettamente crescente = "se la $x$ aumenta, la $y$ aumenta". Le versioni decrescenti sono il contrario.

Sul grafico

• Strettamente crescente: il grafico sale sempre andando verso destra (può anche avere salti verso l'alto).
• Crescente ma non strettamente: il grafico non scende mai, ma può avere tratti orizzontali (dove $f(x_1) = f(x_2)$ con $x_1 < x_2$).
• Strettamente decrescente: scende sempre; decrescente non strettamente: non sale mai, con possibili tratti orizzontali.

Esempio 1: le funzioni $f(x) = mx + q$

Con $m, q \in \mathbb{R}$ fissati, dominio $\mathbb{R}$. Se $q = 0$ si chiama funzione lineare, se $q \ne 0$ funzione affine. Il grafico è una retta di pendenza $m$ che passa per $(0, q)$.

• $m > 0$: strettamente crescente. Se $x_1 < x_2$, moltiplicando per $m > 0$ (verso invariato) $mx_1 < mx_2$, e sommando $q$: $f(x_1) = mx_1 + q < mx_2 + q = f(x_2)$.
• $m < 0$: strettamente decrescente (moltiplicando per $m < 0$ il verso si inverte).
• $m = 0$: $f(x) = q$ è costante, il grafico è una retta orizzontale. È crescente e decrescente insieme (perché $f(x_1) = f(x_2)$ soddisfa sia $\le$ sia $\ge$), ma non strettamente. Le funzioni costanti sono le uniche (definite su $\mathbb{R}$) a essere sia crescenti sia decrescenti.

Esempio 2: la parte intera $[x]$

$[x]$ è il più grande intero minore o uguale a $x$: $[x] = m \in \mathbb{Z}$ se $m \le x < m + 1$. Per esempio $[0] = 0$, $[0{,}5] = 0$, $[1] = 1$, $[2{,}7] = 2$, $[-0{,}5] = -1$ (attenzione ai negativi: il più grande intero $\le -0{,}5$ è $-1$, non $0$).

Quindi $[x] = 0$ per $x \in [0, 1)$, $[x] = 1$ per $x \in [1, 2)$, ecc. Il grafico è "a gradini": tratti orizzontali che saltano di $1$ a ogni intero. È crescente, ma non strettamente (i gradini sono tratti orizzontali).

Monotonia, iniettività e inversa

Teorema (da sapere). Sia $f : X \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ strettamente monotona su $X$. Allora:

1. $f$ è iniettiva, quindi esiste l'inversa $f^{-1} : f(X) \to X$;
2. $f^{-1}$ ha lo stesso tipo di monotonia di $f$ (se $f$ è strettamente crescente, anche $f^{-1}$ lo è; se $f$ è strettamente decrescente, anche $f^{-1}$).

Dai grafici è evidente: una funzione che sale sempre è tagliata da ogni retta orizzontale al più una volta (test delle rette orizzontali); e il simmetrico rispetto a $y = x$ di un grafico che sale sempre è ancora un grafico che sale sempre.

Dimostrazione (per $f$ strettamente crescente; l'altro caso è analogo).

1. $f$ è iniettiva. Siano $x_1, x_2 \in X$ con $x_1 \ne x_2$; vogliamo $f(x_1) \ne f(x_2)$. Due casi:

• se $x_1 < x_2$, allora $f(x_1) < f(x_2)$ (stretta crescenza), quindi $f(x_1) \ne f(x_2)$;
• se $x_1 > x_2$, allora $f(x_1) > f(x_2)$, quindi $f(x_1) \ne f(x_2)$.

In ogni caso $f(x_1) \ne f(x_2)$ ✓.

2. $f^{-1}$ è strettamente crescente (per assurdo). Supponiamo che non lo sia: esistono $y_1, y_2 \in f(X)$ con $y_1 < y_2$ ma $f^{-1}(y_1) \ge f^{-1}(y_2)$. Poiché $y_1, y_2 \in f(X)$, esistono $x_1, x_2 \in X$ con $y_1 = f(x_1)$ e $y_2 = f(x_2)$, cioè $x_1 = f^{-1}(y_1)$ e $x_2 = f^{-1}(y_2)$. Allora:

• $y_1 < y_2$ significa $f(x_1) < f(x_2)$;
• $f^{-1}(y_1) \ge f^{-1}(y_2)$ significa $x_1 \ge x_2$.

Ma se $x_1 = x_2$ si avrebbe $f(x_1) = f(x_2)$, e se $x_1 > x_2$ si avrebbe $f(x_1) > f(x_2)$ (stretta crescenza): in entrambi i casi è falso che $f(x_1) < f(x_2)$. Contraddizione ⚡ ∎.

Attenzione: il viceversa è falso

$f$ strettamente monotona $\Rightarrow$ $f$ iniettiva, ma $f$ iniettiva $\not\Rightarrow$ $f$ strettamente monotona (in generale).

Controesempio (funzione definita a tratti):

$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} & x > 0 \\ x & x \le 0 \end{cases}$$

• Dominio $\mathbb{R}$.
• Iniettiva: per $x \le 0$ i valori sono $\le 0$ e tutti diversi (è la retta $y = x$); per $x > 0$ i valori sono $> 0$ e tutti diversi (è un ramo di iperbole $xy = 1$). I due pezzi non hanno valori in comune: ogni retta orizzontale taglia il grafico al più una volta.
• Suriettiva: $f(\mathbb{R}) = (-\infty, 0] \cup (0, +\infty) = \mathbb{R}$.
• Non è monotona: è strettamente crescente per $x \le 0$ e strettamente decrescente per $x > 0$. Per esempio $-1 < 1$ e $f(-1) = -1 < 1 = f(1)$ (sale), ma $1 < 2$ e $f(1) = 1 > \frac12 = f(2)$ (scende).

Simmetrie: funzioni pari e dispari

Sia $X$ un dominio simmetrico rispetto a $0$: se $x \in X$ allora anche $-x \in X$. Esempi: $\mathbb{R}$; $[-a, a]$ con $a > 0$; $[-b, -a] \cup [a, b]$ con $0 < a < b$; $\mathbb{R} \setminus \{0\}$.

$$f \text{ è } \textbf{pari} \text{ se } f(-x) = f(x) \ \ \forall x \in X \qquad f \text{ è } \textbf{dispari} \text{ se } f(-x) = -f(x) \ \ \forall x \in X$$

Attenzione: se il dominio non è simmetrico rispetto a $0$, $f$ non è né pari né dispari (non si può nemmeno calcolare $f(-x)$ per ogni $x$). Esempio: $\sqrt{x}$, con dominio $[0, +\infty)$.

Il grafico

• $f$ pari: il grafico è simmetrico rispetto all'asse $y$ (i punti $(x, f(x))$ e $(-x, f(x))$ stanno alla stessa altezza). Esempio: $y = x^2$.
• $f$ dispari: il grafico è simmetrico rispetto all'origine (i punti $(x, f(x))$ e $(-x, -f(x))$ sono opposti): la parte per $x < 0$ si ottiene riflettendo quella per $x > 0$ prima rispetto all'asse $y$ e poi rispetto all'asse $x$. Esempio: $y = x^3$.

Conseguenza pratica: se $f$ è pari o dispari, basta studiarla (e disegnarla) per $x \ge 0$, cioè su $X \cap [0, +\infty)$; la parte con $x < 0$ si ottiene per simmetria.

Esempi

Le potenze $x^n$, $n \in \mathbb{N}^*$. Dominio $\mathbb{R}$ (simmetrico).

$$(-x)^n = \begin{cases} x^n & n \text{ pari} \\ -x^n & n \text{ dispari} \end{cases}$$

(un numero pari di segni meno si cancella, uno dispari lascia un meno). Quindi $x^n$ è pari per $n$ pari e dispari per $n$ dispari: è proprio da qui che vengono i nomi "pari" e "dispari"!

$f(x) = e^{3x^2 + 5|x|}$. Dominio $\mathbb{R}$. Calcoliamo:

$$f(-x) = e^{3(-x)^2 + 5|-x|} = e^{3x^2 + 5|x|} = f(x)$$

perché $(-x)^2 = x^2$ e $|-x| = |x|$. Quindi $f$ è pari.

Metodo: per decidere se $f$ è pari o dispari, (1) si controlla che il dominio sia simmetrico, (2) si calcola $f(-x)$ e lo si confronta con $f(x)$ e con $-f(x)$. Se non è uguale a nessuno dei due (per qualche $x$), $f$ non è né pari né dispari (esempio: $x^2 + x$, perché $f(-1) = 0$ mentre $f(1) = 2$).

Errori comuni

• Confondere "crescente" con "strettamente crescente": una funzione costante è crescente (ma non strettamente).
• Dedurre la monotonia da due soli punti: la definizione richiede di confrontare tutte le coppie $x_1 < x_2$.
• Pensare che iniettiva implichi monotona (controesempio sopra).
• Dichiarare pari/dispari una funzione con dominio non simmetrico.
• Pensare che ogni funzione sia pari o dispari: la maggior parte non è né l'una né l'altra.