Funzioni periodiche

Lezione 11: l'ultima definizione per le funzioni $f : X \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Prerequisiti: Funzioni monotone, pari e dispariFunzioni crescenti e decrescenti, legame tra stretta monotonia e iniettività, e simmetrie delle funzioni pari e dispari.Funzioni monotone, pari e dispari →. Gli esempi più importanti sono le Funzioni trigonometriche e loro inverseSeno, coseno e tangente definiti sulla circonferenza goniometrica (angoli in radianti), le loro proprietà e le inverse arcoseno, arcocoseno e arcotangente.Funzioni trigonometriche e loro inverse →.

Definizione

Sia $f : X \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, con $X \ne \emptyset$ inferiormente e superiormente illimitato (il dominio deve proseguire senza fine in entrambe le direzioni). $f$ è periodica se esiste $T > 0$ tale che

$$f(x + T) = f(x) \qquad \forall x \in X$$

Il minimo $T > 0$ con questa proprietà si chiama periodo di $f$ (e si dice che $f$ è "$T$-periodica").

In parole: spostandosi di $T$ verso destra si ritrova lo stesso valore. Il grafico è fatto di un "mattone" di lunghezza $T$ ripetuto all'infinito.

Si ripete anche spostandosi di $2T$, $3T$, … e all'indietro. Infatti

$$f(x + 2T) = f((x + T) + T) = f(x + T) = f(x) \qquad f(x - T) = f((x - T) + T) = f(x)$$

e, per induzione, $f(x + kT) = f(x)$ per ogni $x \in X$ e ogni $k \in \mathbb{Z}$.

Come si usa

• Grafico: basta disegnare $\Gamma_f$ su un qualunque intervallo di ampiezza $T$ (contenuto nel dominio), e poi copiarlo a destra e a sinistra.
• Studio: basta studiare $f$ su $X \cap [0, T]$ oppure su $X \cap \left[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}\right]$.
• Se $f$ è anche pari o dispari, basta considerare $x \ge 0$ nell'intervallo simmetrico: si studia $f$ su $X \cap \left[0, \frac{T}{2}\right]$ (metà periodo), poi si usa la simmetria per arrivare a $\left[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}\right]$ e la periodicità per tutto il resto.

Esempio: la mantissa $x - [x]$

$f(x) = x - [x]$ per ogni $x \in \mathbb{R}$, dove $[x]$ è la parte intera (vedi Funzioni monotone, pari e dispariFunzioni crescenti e decrescenti, legame tra stretta monotonia e iniettività, e simmetrie delle funzioni pari e dispari.Funzioni monotone, pari e dispari →). È la "parte dopo la virgola" di un numero positivo: $f(2{,}7) = 0{,}7$; attenzione ai negativi: $f(-0{,}3) = -0{,}3 - (-1) = 0{,}7$.

• Per $x \in [0, 1)$: $[x] = 0$, quindi $f(x) = x$.
• Per $x \in [1, 2)$: $[x] = 1$, quindi $f(x) = x - 1$.
• In generale per $x \in [m, m + 1)$: $f(x) = x - m$. Il grafico è un "dente di sega".

$f$ è $1$-periodica. Se $[x] = m$, cioè $m \le x < m + 1$, sommando $1$: $m + 1 \le x + 1 < (m + 1) + 1$, quindi $[x + 1] = m + 1 = [x] + 1$. Allora

$$f(x + 1) = (x + 1) - [x + 1] = x + 1 - [x] - 1 = x - [x] = f(x) \qquad \forall x \in \mathbb{R}$$

E $1$ è il minimo periodo (per $0 < T < 1$, $f(0 + T) = T \ne 0 = f(0)$).

Una conseguenza: nessuna funzione periodica è iniettiva

Se $f$ è periodica, $f(x) = f(x + T)$ con $x \ne x + T$: due punti diversi hanno la stessa immagine. Quindi una funzione periodica non è mai iniettiva e non è invertibile. Per "invertire" le funzioni trigonometriche bisognerà restringerle a un intervallo (vedi Funzioni trigonometriche e loro inverseSeno, coseno e tangente definiti sulla circonferenza goniometrica (angoli in radianti), le loro proprietà e le inverse arcoseno, arcocoseno e arcotangente.Funzioni trigonometriche e loro inverse →).

Errori comuni

• Confondere "un" $T$ con "il" periodo: se $T$ funziona, funzionano anche $2T$, $3T$…; il periodo è il più piccolo.
• Dimenticare la condizione sul dominio: deve essere illimitato in entrambe le direzioni (altrimenti $x + T$ potrebbe uscire dal dominio).