Funzioni potenza $x^\alpha$

Prima famiglia di funzioni elementari (lezioni 8 e 9). Le funzioni già incontrate sono le affini $mx + q$, il valore assoluto $|x|$ e la parte intera $[x]$. Qui si studia

$$y = p_\alpha(x) = x^\alpha \qquad \alpha \in \mathbb{R}, \ \alpha \ne 0$$

con $\alpha$ fissato e $x$ variabile. Il dominio e il grafico cambiano molto a seconda di $\alpha$: naturale, intero negativo, razionale, irrazionale. Si costruiscono un passo alla volta. Prerequisiti: Funzioni monotone, pari e dispariFunzioni crescenti e decrescenti, legame tra stretta monotonia e iniettività, e simmetrie delle funzioni pari e dispari.Funzioni monotone, pari e dispari →, Funzioni iniettive, suriettive e inverseIniettività (test delle rette orizzontali), suriettività, biunivocità e funzione inversa con il suo grafico simmetrico rispetto a y = x.Funzioni iniettive, suriettive e inverse →. Disequazioni con potenze e radici: Disequazioni con potenze e radiciSi può applicare ai due membri di una disequazione una funzione strettamente monotona; con le radici di indice pari servono le condizioni sui segni.Disequazioni con potenze e radici →.

1. Esponente naturale: $x^n$, $n \in \mathbb{N}^*$

Definizione per ricorrenza: $x^1 = x$, $x^{n+1} = x \cdot x^n$ (cioè $x^n = x \cdot x \cdots x$, $n$ volte).

• Dominio: $\mathbb{R}$.
• Simmetria: pari se $n$ è pari, dispari se $n$ è dispari (vedi Funzioni monotone, pari e dispariFunzioni crescenti e decrescenti, legame tra stretta monotonia e iniettività, e simmetrie delle funzioni pari e dispari.Funzioni monotone, pari e dispari →). Quindi basta studiarla per $x \ge 0$.
• Monotonia per $x \ge 0$: se $0 \le x_1 < x_2$ allora $x_1^n < x_2^n$ (si dimostra per induzione su $n$, moltiplicando disuguaglianze tra numeri non negativi). Quindi $x^n$ è strettamente crescente su $[0, +\infty)$. Inoltre $x \ge 0 \Rightarrow x^n \ge 0$.
• Per simmetria: se $n$ è dispari, $x^n$ è strettamente crescente su tutto $\mathbb{R}$; se $n$ è pari, è decrescente su $(-\infty, 0]$ e crescente su $[0, +\infty)$ (forma "a U").

2. La radice $n$-esima: $x^{1/n}$

Sappiamo che $p_n : [0, +\infty) \to [0, +\infty)$. In realtà ogni $y \ge 0$ è raggiunto, grazie a:

Teorema (esistenza della radice $n$-esima). Per ogni $y \ge 0$ esiste un unico $x \ge 0$ tale che $x^n = y$. Questo $x$ si chiama radice $n$-esima di $y$ e si scrive $x = \sqrt[n]{y} = y^{1/n}$.

(Discende dalla proprietà III di $\mathbb{R}$, l'esistenza del sup: $\sqrt[n]{y} = \sup\{x \ge 0 : x^n < y\}$, come per $\sqrt{2}$ in Completezza di R (continuità, separazione, sup)Le tre proprietà equivalenti che R ha e Q no: continuità, separazione ed esistenza del sup; densità di Q in R.Completezza di R (continuità, separazione, sup) →.)

Quindi $p_n : [0, +\infty) \to [0, +\infty)$ è iniettiva (perché strettamente crescente) e suriettiva (per il teorema): è invertibile, e l'inversa è

$$p_n^{-1} = p_{1/n} : [0, +\infty) \to [0, +\infty), \qquad x \mapsto x^{1/n} = \sqrt[n]{x}$$

strettamente crescente (stesso tipo di monotonia di $p_n$, per il teorema sulle funzioni monotone). Il grafico è il simmetrico di quello di $x^n$ rispetto alla bisettrice $y = x$.

• $n$ pari: $\mathrm{Dom}(x^{1/n}) = [0, +\infty)$. Per esempio $\sqrt{-4}$ non esiste in $\mathbb{R}$ (nessun reale al quadrato dà $-4$).
• $n$ dispari: $p_n : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ è già iniettiva su tutto $\mathbb{R}$, e la radice si estende ai negativi in modo dispari: per $x < 0$ si pone $\sqrt[n]{x} = -\sqrt[n]{-x}$. Per esempio $\sqrt[3]{-8} = -\sqrt[3]{8} = -2$ (infatti $(-2)^3 = -8$). Quindi $\mathrm{Dom}(x^{1/n}) = \mathbb{R}$.

3. Esponente intero negativo: $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$

• Dominio: $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ (non si divide per zero).
• Simmetria: pari per $n$ pari, dispari per $n$ dispari (come $x^n$). Basta studiarla per $x > 0$.
• Monotonia per $x > 0$: se $0 < x_1 < x_2$ allora $x_1^n < x_2^n$, e passando ai reciproci (numeri positivi: il verso si inverte) $\frac{1}{x_2^n} < \frac{1}{x_1^n}$. Quindi $x^{-n}$ è strettamente decrescente su $(0, +\infty)$, con valori positivi: $p_{-n} : (0, +\infty) \to (0, +\infty)$.

Regola generale usata qui. Se $f$ ha segno costante ($f > 0$ sempre, oppure $f < 0$ sempre) ed è strettamente crescente (crescente), allora $\frac{1}{f}$ è strettamente decrescente (decrescente); e viceversa, se $f$ è strettamente decrescente, $\frac{1}{f}$ è strettamente crescente.

• $n$ pari (es. $\frac{1}{x^2}$): due rami sopra l'asse $x$, simmetrici rispetto all'asse $y$, che salgono verso l'infinito vicino a $0$.
• $n$ dispari (es. $\frac{1}{x}$): un ramo nel primo quadrante e uno nel terzo, simmetrici rispetto all'origine. Per $n = 1$ il grafico $y = \frac{1}{x}$, cioè $xy = 1$, è un'iperbole.

Riassumendo i punti 1 e 3: $x^m$ è definita per ogni $m \in \mathbb{Z}^* = \mathbb{Z} \setminus \{0\}$, con dominio $\mathbb{R}$ se $m > 0$ e $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ se $m < 0$.

4. Esponente razionale: $x^{m/n}$

Per $q = \frac{m}{n} \in \mathbb{Q}^* = \mathbb{Q} \setminus \{0\}$ (con $m \in \mathbb{Z}^*$, $n \in \mathbb{N}^*$) si definisce

$$x^{m/n} = \sqrt[n]{x^m}$$

Dominio e grafico dipendono da $m$ e $n$. Con $m$ e $n$ primi tra loro (frazione ridotta):

Perché: con $n$ pari la radice richiede $x^m \ge 0$, e poiché $m$ è dispari (è primo con $n$ pari) questo vuol dire $x \ge 0$; con $m < 0$ si toglie anche $x = 0$ (c'è una divisione). Con $n$ dispari la radice esiste sempre.

Il grafico per $x > 0$ dipende solo da dove sta l'esponente rispetto a $0$ e $1$:

• $\frac{m}{n} < 0$: come $x^{-h}$, decrescente;
• $0 < \frac{m}{n} < 1$: come $x^{1/h}$, crescente e "piegato verso il basso" (sta sopra la bisettrice per $0 < x < 1$, sotto per $x > 1$);
• $\frac{m}{n} > 1$: come $x^h$, crescente e "piegato verso l'alto".

Tutti i grafici passano per il punto $(1, 1)$ (perché $1^\alpha = 1$). Per $x \le 0$ dipende da se la funzione è definita e da se è pari o dispari: si studia caso per caso (vedi gli esempi $x^{2/3}$ e $x^{5/3}$ in Esercizio 18 - potenze x^(2/3) e x^(5/3)).

5. Esponente irrazionale: $x^\alpha$, $\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$

Si possono definire anche potenze come $x^{-\sqrt{2}}$ o $x^{3\pi}$, ma solo per $x \ge 0$:

• $\alpha > 0$: dominio $[0, +\infty)$;
• $\alpha < 0$: dominio $(0, +\infty)$.

Anche qui tutto si basa sulla proprietà III di $\mathbb{R}$: per $x > 1$, $x^\alpha = \sup\{x^{m/n} : \frac{m}{n} < \alpha\}$ (si approssima l'esponente irrazionale con esponenti razionali più piccoli). Il grafico per $x > 0$ ha le stesse tre forme del punto 4 ($\alpha < 0$, $0 < \alpha < 1$, $\alpha > 1$).

Proprietà delle potenze (solo con base positiva!)

Per $a > 0$, $b > 0$ e $r, s \in \mathbb{R}$:

1. $a^0 = 1$;
2. $a^r > 0$;
3. $a^r \cdot b^r = (a \cdot b)^r$;
4. $a^{-r} = \dfrac{1}{a^r}$;
5. $(a^r)^s = a^{r \cdot s}$;
6. $a^r \cdot a^s = a^{r + s}$.

Monotonia rispetto all'esponente (si vede dai grafici del punto 4): fissata la base,

• se $0 < a < 1$: $\alpha_1 < \alpha_2 \Rightarrow a^{\alpha_1} > a^{\alpha_2}$ (aumentando l'esponente la potenza diminuisce; per esempio $(\frac12)^2 = \frac14 < \frac12 = (\frac12)^1$);
• se $a > 1$: $\alpha_1 < \alpha_2 \Rightarrow a^{\alpha_1} < a^{\alpha_2}$ (aumentando l'esponente la potenza aumenta).

Attenzione: base negativa

Le proprietà valgono solo con base $> 0$. Se valessero anche con $a < 0$, si avrebbe per esempio con $a = -2$:

$$-2 = (-2)^1 = (-2)^{2 \cdot \frac12} = \left[(-2)^2\right]^{1/2} = \sqrt{4} = 2$$

cioè $-2 = 2$: assurdo. Il passaggio sbagliato è $(-2)^{2 \cdot \frac12} = [(-2)^2]^{1/2}$, cioè la proprietà 5 usata con base negativa.

Conseguenza: $x^{3/2}$ e $x^{6/4}$ sono funzioni diverse (sui loro domini naturali), anche se $\frac32 = \frac64$!

• $f_1(x) = x^{3/2} = \sqrt{x^3}$: serve $x^3 \ge 0$, cioè $x \ge 0$. Dominio $[0, +\infty)$.
• $f_2(x) = x^{6/4} = \sqrt[4]{x^6}$: $x^6 \ge 0$ per ogni $x$, quindi dominio $\mathbb{R}$; ed è pari ($\sqrt[4]{(-x)^6} = \sqrt[4]{x^6}$).

Hanno domini e grafici diversi. Per $x > 0$ coincidono ($x^{6/4} = x^{3/2}$), perché lì valgono le proprietà delle potenze. Per questo si chiede di scrivere l'esponente come frazione ridotta prima di trovare il dominio.

Errori comuni

• Scrivere $\sqrt{x^2} = x$: è $|x|$.
• Usare le proprietà delle potenze con base negativa.
• Dimenticare che $\sqrt[n]{x}$ con $n$ pari richiede $x \ge 0$, mentre con $n$ dispari no.
• Semplificare l'esponente senza pensare al dominio ($x^{6/4} \ne x^{3/2}$ per $x < 0$).