Esercizio 18

Testo (Lezione 9, esercizi 1 e 2).

1. Dominio e grafico di $y = x^{2/3}$. Risolvere $x^{2/3} \ge a$, con $a > 0$.
2. Dominio e grafico di $y = x^{5/3}$. Risolvere $x^{5/3} < a$, per ogni $a \in \mathbb{R}$.

Sono due esempi di potenze con esponente razionale$x^{m/n} = \sqrt[n]{x^m}$: dominio e grafico dipendono da $m$ e $n$, con la frazione ridotta.Funzioni potenza →, e mostrano un errore frequentissimo nelle disequazioni.

Parte 1: $y = x^{2/3}$

Dominio

Per definizione $x^{2/3} = \sqrt[3]{x^2}$. La radice è di indice $3$, dispari, quindi esiste per ogni numero realeUna radice di indice dispari si può fare anche di un negativo: per esempio $\sqrt[3]{-8} = -2$ perché $(-2)^3 = -8$.: $\mathrm{Dom} = \mathbb{R}$.

Simmetria

$$f(-x) = \sqrt[3]{(-x)^2} = \sqrt[3]{x^2} = f(x)$$

perché $(-x)^2 = x^2$. Quindi $f$ è pari$f(-x) = f(x)$: il grafico è simmetrico rispetto all'asse $y$, basta disegnarlo per $x \ge 0$.Funzioni monotone, pari e dispari →.

Grafico

Per $x \ge 0$ l'esponente $\frac23$ è compreso tra $0$ e $1$: il grafico ha la forma di $\sqrt{x}$Per $x > 0$, con esponente tra 0 e 1, $x^\alpha$ cresce ma sempre più lentamente; passa per $(0,0)$ e $(1,1)$.Funzioni potenza → (cresce, "piegato verso il basso"), passa per $(0, 0)$ e $(1, 1)$. Per $x < 0$ si riflette rispetto all'asse $y$. Il risultato ha una "punta" nell'origine.

La disequazione $x^{2/3} \ge a$, con $a > 0$

Usiamo il metodo graficoSi disegnano $y = f(x)$ e la retta $y = a$: le soluzioni di $f(x) \ge a$ sono le $x$ dove il grafico sta sopra la retta.Funzioni - definizione, dominio e grafico →: si mettono a sistema $y = x^{2/3}$ e $y = a$.

Punti di intersezione. Cerchiamo $\bar{x} > 0$ con $\bar{x}^{2/3} = a$. Elevando alla $\frac32$ (lecitoSu numeri positivi $t \mapsto t^{3/2}$ è strettamente crescente: applicarla ai due membri di un'uguaglianza o disuguaglianza non cambia nulla.Disequazioni con potenze e radici →: numeri positivi, e $t \mapsto t^{3/2}$ è strettamente crescente su $[0, +\infty)$):

$$\bar{x} = \left(\bar{x}^{2/3}\right)^{3/2} = a^{3/2}$$

Per simmetriaUna funzione pari assume lo stesso valore in $x$ e in $-x$: se $\bar{x}$ è soluzione, lo è anche $-\bar{x}$.Funzioni monotone, pari e dispari →, l'altra intersezione è $-\bar{x} = -a^{3/2}$.

Lettura del grafico. La curva sta sopra la retta $y = a$ "fuori" dai due punti di intersezione:

$$x \le -a^{3/2} \quad \text{oppure} \quad x \ge a^{3/2}, \qquad \text{cioè} \quad x \in (-\infty, -a^{3/2}] \cup [a^{3/2}, +\infty)$$

Controllo con $a = 1$: $a^{3/2} = 1$, soluzioni $x \le -1$ o $x \ge 1$. Per $x = -8$: $(-8)^{2/3} = \sqrt[3]{64} = 4 \ge 1$ ✓ (è una soluzione negativa!). Per $x = 0{,}5$: $\sqrt[3]{0{,}25} \approx 0{,}63 < 1$, non è soluzione ✓.

Attenzione: errore frequente

Scrivere $x^{2/3} \ge a \iff (x^{2/3})^{3/2} \ge a^{3/2} \iff x \ge a^{3/2}$ è sbagliato: manca la parte $x \le -a^{3/2}$. Il motivo è che $(x^{2/3})^{3/2}$ non è $x$ quando $x < 0$ (le proprietà delle potenzeValgono solo con base positiva: per una base negativa $(a^r)^s = a^{rs}$ può essere falsa.Funzioni potenza → valgono solo con base positiva; in realtà $(x^{2/3})^{3/2} = |x|$). La funzione $x^{2/3}$ è pari, non è monotona su $\mathbb{R}$, quindi non la si può "togliere" applicando l'inversa a entrambi i membri.

Parte 2: $y = x^{5/3}$

Dominio e simmetria

$x^{5/3} = \sqrt[3]{x^5}$: radice di indice dispari, $\mathrm{Dom} = \mathbb{R}$.

$$f(-x) = \sqrt[3]{(-x)^5} = \sqrt[3]{-x^5} = -\sqrt[3]{x^5} = -f(x)$$

quindi $f$ è dispari$f(-x) = -f(x)$: il grafico è simmetrico rispetto all'origine.Funzioni monotone, pari e dispari →.

Grafico

Per $x \ge 0$ l'esponente $\frac53 > 1$: forma di $x^2$ (cresce, "piegato verso l'alto"). Per $x < 0$ si ottiene per simmetria rispetto all'origine. Il grafico è strettamente crescente su tutto $\mathbb{R}$, come $x^3$.

La disequazione $x^{5/3} < a$, per ogni $a \in \mathbb{R}$

Metodo grafico: la retta $y = a$ (qualunque $a$, anche negativo) taglia il grafico in un solo punto $\bar{x}$ (la funzione è iniettiva e suriettivaOgni retta orizzontale incontra il grafico esattamente una volta: ogni valore $a$ è assunto in un solo punto.Funzioni iniettive, suriettive e inverse → su $\mathbb{R}$), con $\bar{x}^{5/3} = a$, cioè $\bar{x} = a^{3/5}$ (che esiste per ogni $a$ reale, perché $3/5$ ha denominatore dispari). Il grafico sta sotto la retta a sinistra di $\bar{x}$:

$$x < a^{3/5}$$

Questa volta la scorciatoia funziona: $x^{5/3} < a \iff (x^{5/3})^{3/5} < a^{3/5} \iff x < a^{3/5}$ è corretto, perché si è applicata a entrambi i membri la funzione $t \mapsto t^{3/5}$, che è strettamente crescente su tutto $\mathbb{R}$Applicando ai due membri una funzione strettamente crescente il verso si conserva e non si perdono soluzioni.Disequazioni con potenze e radici →.

Controllo con $a = 32$: $32^{3/5} = (2^5)^{3/5} = 2^3 = 8$, soluzioni $x < 8$. Per $x = 8$: $8^{5/3} = 2^5 = 32$, non è $< 32$ ✓ (estremo escluso).

Morale

In generale: $A(x) \le B(x) \iff f(A(x)) \le f(B(x))$ solo se $f$ è strettamente crescente (sull'insieme dove stanno $A$ e $B$).