Insiemi numerici: ℕ, ℤ, ℚ, ℝ

Questa nota presenta i quattro insiemi di numeri del corso, come li ha introdotti la prof all'inizio (in modo "intuitivo", con la rappresentazione decimale), e spiega perché i razionali non bastano e servono i reali. Gli intervalli, che si usano in tutto il corso, sono in fondo.

I naturali ℕ

$$\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots, n, n+1, \dots\} \qquad \mathbb{N}^* = \{1, 2, 3, \dots\} = \mathbb{N} \setminus \{0\}$$

Attenzione: in questo corso $0 \in \mathbb{N}$. Quando si vogliono i naturali senza lo zero si scrive $\mathbb{N}^*$ (oppure "$n \in \mathbb{N}$, $n \ne 0$", oppure "$n \ge 1$").

Proprietà chiave (che servono per il Principio di induzionePer dimostrare una proprietà per ogni n basta il passo base e il passo induttivo da n a n+1.Principio di induzione →): ogni naturale $n$ ha un successivo $n + 1 \in \mathbb{N}$; ogni naturale $n \ge 1$ ha un precedente $n - 1 \in \mathbb{N}$. Tutti i naturali si ottengono partendo da $0$ e aggiungendo $1$ ripetutamente.

Gli interi ℤ

$$\mathbb{Z} = \{0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \dots\}$$

Si aggiungono i negativi. Il motivo: in $\mathbb{N}$ non si può sempre sottrarre ($3 - 5$ non è un naturale), in $\mathbb{Z}$ sì.

I razionali ℚ

$$\mathbb{Q} = \left\{ q = \frac{m}{n} : m \in \mathbb{Z}, \ n \in \mathbb{N}^* \right\}$$

Le frazioni. Il denominatore è in $\mathbb{N}^*$: positivo (il segno si mette nel numeratore) e mai zero (non si divide per zero). In $\mathbb{Q}$ si può sempre dividere per un numero diverso da zero.

Rappresentazione come frazione: non è unica

Lo stesso numero si scrive in infiniti modi: per ogni $h \in \mathbb{N}^*$,

$$\frac{m}{n} = \frac{m \cdot h}{n \cdot h} \qquad \text{per esempio} \quad \frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{6}{8} = \frac{9}{12} = \dots$$

È però sempre possibile scegliere una rappresentazione unica: quella ridotta ai minimi termini, con $m$ e $n$ primi tra loro (senza divisori comuni oltre a $1$). Si ottiene dividendo numeratore e denominatore per tutti i fattori comuni: $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$. Questo fatto è il punto di partenza della dimostrazione che $\sqrt{2}$ non è razionale (sotto).

Rappresentazione decimale

Facendo la divisione si ottiene un numero decimale, per esempio $\frac{1}{4} = 0{,}25$ e $\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots = 0{,}\overline{3}$ (la barra indica le cifre che si ripetono all'infinito). In generale un razionale si scrive

$$q = m{,}d_1 d_2 d_3 \dots \qquad m \in \mathbb{Z}, \quad d_1, d_2, \dots \in \{0, 1, \dots, 9\}$$

dove le cifre decimali sono di uno di questi due tipi:

• finite: da un certo punto in poi sono tutte $0$ ($0{,}25 = 0{,}25000\ldots$);
• periodiche: da un certo punto in poi un blocco finito di cifre si ripete per sempre ($0{,}\overline{3}$, oppure $\frac{1}{7} = 0{,}\overline{142857}$).

Perché succede. Nella divisione $m : n$ i resti possibili sono solo $0, 1, \dots, n-1$. Prima o poi un resto si ripete (o vale $0$), e da lì in poi la divisione ripete gli stessi passi: le cifre diventano periodiche.

I reali ℝ (definizione intuitiva)

$$\mathbb{R} = \{ r = m{,}d_1 d_2 d_3 \dots : m \in \mathbb{Z}, \ d_1, d_2, \dots \in \{0, \dots, 9\} \text{ qualsiasi} \}$$

Cioè: tutti gli allineamenti decimali, anche quelli che non finiscono e non diventano mai periodici, come $\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots$ o $\pi = 3{,}14159265\ldots$ I reali che non sono razionali si dicono irrazionali.

Visti in forma decimale, ogni insieme è contenuto strettamente nel successivo:

$$\mathbb{N} \subsetneq \mathbb{Z} \subsetneq \mathbb{Q} \subsetneq \mathbb{R}$$

(e più avanti si incontrerà anche $\mathbb{R} \subsetneq \mathbb{C}$, i numeri complessi). Gli "elementi in più" che rendono strette le inclusioni sono, per esempio, $-1 \in \mathbb{Z} \setminus \mathbb{N}$, $\frac{1}{2} \in \mathbb{Q} \setminus \mathbb{Z}$, $\sqrt{2} \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ (quest'ultimo va dimostrato: vedi sotto).

Più avanti nel corso i reali vengono descritti in modo preciso tramite le loro proprietà (campo ordinato e completo): vedi Estremo superiore (sup)Maggioranti e minoranti, massimo e minimo, estremo superiore (il più piccolo dei maggioranti) e inferiore, con la caratterizzazione con epsilon.Estremo superiore (sup) → per l'assioma di completezza.

Perché ℚ non basta: $\sqrt{2}$ non è razionale

Teorema. Se $c \in \mathbb{R}$ e $c^2 = 2$, allora $c \notin \mathbb{Q}$.

La dimostrazione (per assurdo) è svolta passo per passo nell'Esercizio 9 - la radice di 2 non è razionale.

Conseguenze.

1. Analitica: l'equazione $x^2 = 2$ non ha soluzioni in $\mathbb{Q}$. Con i soli razionali non si riesce nemmeno a risolvere un'equazione così semplice.
2. Geometrica: $\mathbb{Q}$ non è in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta. Si disegni sulla retta il quadrato di lato $1$ costruito sul segmento da $0$ a $1$. Per il teorema di Pitagora la sua diagonale $c$ soddisfa $c^2 = 1^2 + 1^2 = 2$. Puntando il compasso in $0$ e riportando la diagonale sulla retta si trova un punto $P$ a distanza $c$ da $0$: è un punto della retta a cui non corrisponde nessun razionale. Quindi i razionali, pur essendo "fittissimi", lasciano dei buchi sulla retta.

Questo motiva l'introduzione dei reali: in $\mathbb{R}$ (1) l'equazione $x^2 = 2$ ha soluzione, e (2) c'è corrispondenza biunivoca con i punti della retta (la "retta reale" non ha buchi).

Intervalli e semirette

Sono i sottoinsiemi di $\mathbb{R}$ più usati. Siano $a < b$ numeri reali.

Parentesi quadra = estremo incluso, tonda = escluso. Sulla retta un estremo incluso si disegna con un pallino pieno, uno escluso con un pallino vuoto.

Notazione della prof. La prof scrive gli estremi esclusi con la parentesi quadra rovesciata: $[a, b[$ invece di $[a, b)$, $]a, b]$ invece di $(a, b]$, $]-\infty, b[$ invece di $(-\infty, b)$. Sono due notazioni per la stessa cosa; in questi appunti usiamo le tonde.

Perché a $\pm\infty$ c'è sempre la tonda. $+\infty$ e $-\infty$ non sono numeri reali: indicano solo che la semiretta prosegue senza fine. Non possono quindi "appartenere" all'insieme.

Errori comuni

• Dimenticare che $0 \in \mathbb{N}$ in questo corso.
• Pensare che $\frac{6}{8}$ e $\frac{3}{4}$ siano numeri diversi: sono due scritture dello stesso razionale.
• Credere che ogni decimale infinito sia irrazionale: $0{,}\overline{3} = \frac{1}{3}$ è razionale (è periodico). Irrazionale = infinito e non periodico.
• Scrivere $[a, +\infty]$ con la quadra all'infinito.