Funzioni: definizione, dominio, grafico, immagine

Inizio del capitolo 2 del corso (lezioni 6 e 7). La prof segue un ordine diverso dal libro. Le note successive: Funzioni iniettive, suriettive e inverseIniettività (test delle rette orizzontali), suriettività, biunivocità e funzione inversa con il suo grafico simmetrico rispetto a y = x.Funzioni iniettive, suriettive e inverse → e Composizione e operazioni tra funzioniLa composta g(f(x)) e come trovarne il dominio, più somma, prodotto e quoziente di funzioni.Composizione e operazioni tra funzioni →. Esercizio svolto: Esercizio 16 - immagine e antimmagine di 2x.

Definizione

Dati due insiemi $X, Y \ne \emptyset$, una funzione $f : X \to Y$ è una legge che associa a ogni $x \in X$ uno e un solo $y \in Y$.

• $X$ si chiama dominio, $Y$ codominio.
• $x$ è la variabile indipendente (la scegliamo noi), $y$ la variabile dipendente (è determinata da $x$).
• Si scrive $y = f(x)$, oppure $x \mapsto f(x)$ ("$x$ va in $f(x)$"), oppure $X \xrightarrow{f} Y$.

Le due parole chiave sono "ogni" e "uno e un solo":

1. ogni $x$ del dominio deve avere un'immagine (nessun $x$ lasciato senza partner);
2. ogni $x$ ha una sola immagine (non può andare in due posti diversi).

Invece non è richiesto che ogni $y$ sia raggiunto, né che sia raggiunto da un solo $x$.

Esempi

1. Insiemi finiti. $X = \{1, 2, 3, 4\}$, $Y = \{1, 2, 3\}$.

2. Funzione reale di variabile reale. $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 2x$. Per ogni $x$ esiste un unico $y = 2x$: è una funzione. Le funzioni $f : X \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sono l'oggetto di Analisi 1.

3. Funzione di due variabili. $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, $z = f(x, y) = x^2 + y^2$: a ogni coppia $(x, y)$ associa un unico numero. Per esempio $f(0, 0) = 0$, $f(1, 0) = 1$. (Sono l'oggetto di Analisi 2.)

4. Successioni. $f : \mathbb{N} \to \mathbb{R}$ (o definita su $\{n \in \mathbb{N} : n \ge n_0\}$): a ogni naturale $n$ associa un numero. Per tradizione si scrive $a_n$ invece di $f(n)$ e si indica la successione con $(a_n)_{n \ge n_0}$. Gli insiemi $\{x_n\}$ degli esercizi su sup e inf (per esempio l'Esercizio 2 - max min inf sup di (n+2)/n) sono proprio i valori di una successione.

Dominio naturale (campo di esistenza)

Di solito negli esercizi la funzione è data solo con la formula, senza dire il dominio: bisogna trovarlo.

Definizione. Il dominio naturale di $f : X \to Y$ (con $X$ "insieme universo", per esempio $\mathbb{R}$ o $\mathbb{R}^2$) è il più grande sottoinsieme di $X$ in cui tutte le operazioni che definiscono $f$ hanno senso.

Esempio 1. $f(x) = \dfrac{1}{x^2 - 1}$, $f : X \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. Si deve poter dividere: $x^2 - 1 \ne 0 \iff x \ne \pm 1$.

$$\mathrm{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$$

Esempio 2. $z = f(x, y) = \dfrac{1}{x^2 + y^2 - 1}$, $f : X \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$. Serve $x^2 + y^2 - 1 \ne 0$, cioè $x^2 + y^2 \ne 1$:

$$\mathrm{Dom}(f) = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \ne 1\}$$

Nel piano, $x^2 + y^2 = 1$ è la circonferenza di centro $(0, 0)$ e raggio $1$ (i punti a distanza $1$ dall'origine, per Pitagora). Il dominio è tutto il piano tranne quella circonferenza.

Le condizioni tipiche (si ampliano con le funzioni elementari): denominatori $\ne 0$; argomento di una radice quadrata (di indice pari) $\ge 0$; argomento di un logaritmo $> 0$.

Grafico

Il grafico di $f : X \to Y$ (con $X$ = dominio) è l'insieme delle coppie "punto, sua immagine":

$$\Gamma_f = \{(x, f(x)) : x \in X\} \subseteq X \times Y$$

($\Gamma$ è la gamma maiuscola greca.) Se $f : X \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, allora $\Gamma_f \subseteq \mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2$, che è in corrispondenza biunivoca con il piano cartesiano: il grafico si può disegnare, ed è una curva del piano.

• Per $f : X \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, $\Gamma_f \subseteq \mathbb{R}^3$: è una superficie nello spazio (si disegna a fatica).
• Per $f : X \subseteq \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$, $\Gamma_f \subseteq \mathbb{R}^4$: non si può disegnare.

Perché il grafico è così importante in Analisi 1: per le funzioni di una variabile reale il grafico riassume tutte le proprietà di $f$, e molte domande (dominio, immagine, iniettività, disequazioni…) si risolvono guardandolo.

Esempio. $f(x) = 2x$: $\Gamma_f = \{(x, 2x) : x \in \mathbb{R}\}$. Calcolando qualche punto ($x = 0 \Rightarrow y = 0$; $x = 1 \Rightarrow y = 2$) si vede che è la retta per l'origine con pendenza $2$ (i punti con $\frac{y}{x} = 2$).

Attenzione alla differenza: $\Gamma_f$ è un insieme di punti, $f$ è una legge.

Quando una curva è il grafico di una funzione?

Test delle rette verticali. Una curva nel piano è il grafico di una funzione $y = f(x)$ se e solo se ogni retta verticale la interseca al più una volta.

Perché: la retta verticale $x = x_0$ interseca il grafico nei punti $(x_0, y)$ con $y = f(x_0)$. Se la intersecasse in due punti $(x_0, y_1)$ e $(x_0, y_2)$ con $y_1 \ne y_2$, il punto $x_0$ avrebbe due immagini: non sarebbe una funzione. Se non la interseca affatto, semplicemente $x_0$ non sta nel dominio.

Esempio: una circonferenza non è il grafico di una funzione (le rette verticali che la attraversano la tagliano in due punti).

Il dominio si legge sul grafico

Dominio = proiezione di $\Gamma_f$ sull'asse $x$: le $x$ per cui la retta verticale incontra il grafico. Per esempio, se il grafico è fatto di un pezzo che arriva da sinistra fino al punto (pieno) di ascissa $x_1$ e di un pezzo che parte dal punto (vuoto) di ascissa $x_2$ e prosegue a destra, il dominio è $(-\infty, x_1] \cup (x_2, +\infty)$.

Immagine e antimmagine

Sia $f : X \to Y$.

Immagine di un insieme. Per $A \subseteq X$, $A \ne \emptyset$:

$$f(A) = \{f(x) : x \in A\} \subseteq Y$$

è l'insieme dei valori che $f$ assume quando $x$ varia in $A$ ("dove vanno a finire i punti di $A$"). Si ha sempre $f(A) \ne \emptyset$.

L'immagine di $f$ è $f(X)$, l'insieme di tutti i valori assunti. In generale $f(X) \subseteq Y$, e può essere $f(X) \subsetneq Y$ (non tutto il codominio viene raggiunto).

Antimmagine (o controimmagine) di un insieme. Per $B \subseteq Y$, $B \ne \emptyset$:

$$f^{\leftarrow}(B) = \{x \in X : f(x) \in B\} \subseteq X$$

è l'insieme dei punti del dominio che finiscono dentro $B$ ("chi va a finire in $B$"). Può essere $f^{\leftarrow}(B) = \emptyset$ (se nessun valore di $f$ sta in $B$), mentre $f^{\leftarrow}(Y) = X$ (ogni $x$ finisce in $Y$).

(La freccia $f^{\leftarrow}$ ricorda che si va "all'indietro", da $Y$ a $X$. Molti libri scrivono $f^{-1}(B)$, ma è una notazione pericolosa perché si confonde con la funzione inversa, che può non esistere.)

Esempio (svolto nell'Esercizio 16 - immagine e antimmagine di 2x): per $f(x) = 2x$ si ha $f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}$, $f([-1, 3]) = [-2, 6]$, $f^{\leftarrow}([-1, 3]) = [-\frac12, \frac32]$.

Immagine e antimmagine sul grafico

Per $f : X \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ (vale in generale):

• $f(X)$ = proiezione di $\Gamma_f$ sull'asse $y$;
• $f(A)$ = proiezione sull'asse $y$ della parte di grafico sopra $A$ (con $x \in A$);
• $f^{\leftarrow}(B)$ = proiezione sull'asse $x$ della parte di grafico con $y \in B$.

Il metodo grafico per equazioni e disequazioni

Le antimmagini di intervalli sono esattamente le soluzioni delle disequazioni:

In pratica: si disegnano nello stesso piano il grafico $y = f(x)$ e la retta (o le rette) $y = a$, cioè si "risolve graficamente il sistema" $\begin{cases} y = f(x) \\ y = a \end{cases}$, si trovano le ascisse dei punti di intersezione e si leggono le zone.

Esempio: le proprietà del valore assoluto. Con $f(x) = |x|$ (la V) e $r > 0$: la retta $y = r$ taglia la V nei punti $(-r, r)$ e $(r, r)$. La V sta sopra la retta per $x \le -r$ e per $x \ge r$: ritroviamo $|x| \ge r \iff x \le -r \vee x \ge r$ (proprietà 5 in Valore assoluto (modulo)Il valore assoluto è la distanza di un numero da zero: definizione, proprietà, disuguaglianza triangolare e disequazioni con i moduli.Valore assoluto (modulo) →).

Inf, sup, max, min di una funzione

Per $f : X \to \mathbb{R}$ l'immagine $f(X)$ è un sottoinsieme di $\mathbb{R}$. Si dice che $f$ è inferiormente limitata, superiormente limitata, limitata, e si definiscono $\inf f$, $\sup f$, $\min f$, $\max f$, applicando le definizioni di Estremo superiore (sup)Maggioranti e minoranti, massimo e minimo, estremo superiore (il più piccolo dei maggioranti) e inferiore, con la caratterizzazione con epsilon.Estremo superiore (sup) → all'insieme $f(X)$. Per esempio $\sup f = \sup f(X)$.

Errori comuni

• Pensare che una funzione debba raggiungere tutto il codominio: non è richiesto (quella è la suriettività, vedi Funzioni iniettive, suriettive e inverseIniettività (test delle rette orizzontali), suriettività, biunivocità e funzione inversa con il suo grafico simmetrico rispetto a y = x.Funzioni iniettive, suriettive e inverse →).
• Confondere immagine e antimmagine: l'immagine parte da $x$ e guarda dove si arriva (sta in $Y$); l'antimmagine parte da un insieme di $y$ e guarda da dove si parte (sta in $X$).
• Dimenticare di cercare il dominio prima di lavorare con una formula.