Esercizio 9

Testo (Lezione 2, esercizio 2 — dimostrazione per assurdo). Teorema (da sapere). Se $c \in \mathbb{R}$ ha $c^2 = 2$, allora $c \notin \mathbb{Q}$.

In altre parole: $\sqrt{2}$ non è un numero razionale. Serve il risultato dell'Esercizio 8 - n dispari implica n^2 dispari.

Passo 0: ipotesi, tesi e strategia

• UniversoL'insieme in cui varia la variabile: qui $c$ è un numero reale qualsiasi.: $X = \mathbb{R}$.
• IpotesiCiò che si suppone vero; la tesi è ciò che si vuole dedurre a partire dall'ipotesi.Tecniche di dimostrazione → $p$: "$c^2 = 2$".
• Tesi $q$: "$c \notin \mathbb{Q}$".

Perché per assurdoSi suppone vera l'ipotesi e falsa la tesi e si arriva a una contraddizione: quindi la tesi non può essere falsa.Tecniche di dimostrazione →. La tesi è "negativa" (dice che $c$ non è una frazioneUn numero razionale è uno che si scrive come $\frac{m}{n}$ con $m$ intero e $n$ naturale diverso da $0$.Insiemi numerici (N, Z, Q, R) →): direttamente non c'è niente su cui calcolare. Se invece supponiamo il contrario, cioè $c \in \mathbb{Q}$, possiamo scrivere $c = \frac{m}{n}$ e abbiamo una formula concreta da manipolare.

Cosa si fa in una dimostrazione per assurdo: si suppone vera $p \wedge \text{non}\,q$"$p$ e non $q$": è la negazione dell'implicazione $p \Rightarrow q$, cioè il caso che la renderebbe falsa.Logica e quantificatori →, cioè

$$c^2 = 2 \quad \text{e} \quad c \in \mathbb{Q}$$

e si cerca una contraddizione.

Passo 1: due osservazioni preliminari

$c \ne 0$. Infatti $0^2 = 0 \ne 2$.

Possiamo supporre $c > 0$. Se $c^2 = 2$, anche $(-c)^2 = c^2 = 2$. Quindi le soluzioni vengono "in coppia", $c$ e $-c$, e una delle due è positiva. Inoltre $c$ è razionale se e solo se lo è $-c$. Basta quindi trattare il caso $c > 0$.

Perché ci fa comodo: con $c > 0$ possiamo scrivere $c = \frac{m}{n}$ con $m$ e $n$ entrambi naturali positivi, senza preoccuparci dei segni.

Passo 2: scrivere $c$ come frazione ridotta

Poiché $c \in \mathbb{Q}$ e $c > 0$, si può scrivere

$$c = \frac{m}{n} \qquad m, n \in \mathbb{N}^*, \quad m \text{ e } n \text{ primi tra loro}$$

Perché possiamo chiedere "primi tra loroDue naturali sono primi tra loro se non hanno divisori comuni oltre a $1$, come $3$ e $8$.". Ogni frazione si può ridurre ai minimi terminiSi dividono numeratore e denominatore per tutti i fattori comuni: si ottiene la frazione ridotta, con lo stesso valore.Insiemi numerici (N, Z, Q, R) → dividendo numeratore e denominatore per i fattori comuni. Questa è la scelta cruciale: è proprio l'affermazione che verrà contraddetta alla fine.

Passo 3: tradurre $c^2 = 2$ in un'uguaglianza tra interi

$$c^2 = 2 \iff \frac{m^2}{n^2} = 2 \iff m^2 = 2n^2$$

(nell'ultimo passaggio si moltiplicano entrambi i membriMoltiplicando i due membri di un'uguaglianza per lo stesso numero diverso da $0$ si ottiene un'uguaglianza equivalente.Campi ordinati (Q e R) → per $n^2 \ne 0$).

Che cosa ci dice $m^2 = 2n^2$. Che $m^2$ è $2$ per un intero, cioè $m^2$ è pariUn intero è pari se si può scrivere come $2k$ con $k$ intero..

Passo 4: anche $m$ è pari

Dall'Esercizio 8 - n dispari implica n^2 dispari (nella forma contronominaleDa "$n$ dispari $\Rightarrow$ $n^2$ dispari" segue l'equivalente "$n^2$ pari $\Rightarrow$ $n$ pari", negando e scambiando ipotesi e tesi.Tecniche di dimostrazione →) sappiamo: se $m^2$ è pari, allora $m$ è pari. Quindi esiste $k \in \mathbb{N}^*$ con

$$m = 2k$$

Passo 5: anche $n$ è pari

Sostituiamo $m = 2k$ in $m^2 = 2n^2$:

$$(2k)^2 = 2n^2 \iff 4k^2 = 2n^2 \iff n^2 = 2k^2$$

(dividendo per $2$). Quindi $n^2$ è pari, e per lo stesso risultato di prima $n$ è pari.

Passo 6: la contraddizione

Abbiamo ottenuto che $m$ e $n$ sono entrambi pari, cioè hanno il fattore comune $2$. Ma al passo 2 li avevamo scelti primi tra loro (senza fattori comuni). ContraddizioneDue affermazioni che non possono essere vere insieme: nella dimostrazione per assurdo segnala che l'ipotesi fatta (qui $c \in \mathbb{Q}$) è falsa.Tecniche di dimostrazione → ⚡.

L'ipotesi "$c \in \mathbb{Q}$" ci ha portato a una cosa impossibile, quindi è falsa. Conclusione:

$$c^2 = 2 \ \Rightarrow \ c \notin \mathbb{Q} \qquad \blacksquare$$

Perché è importante

1. L'equazione $x^2 = 2$ non ha soluzioni in $\mathbb{Q}$.
2. I razionali lasciano "buchi" sulla retta: la diagonale del quadrato di lato $1$ ha lunghezza $c$ con $c^2 = 1^2 + 1^2 = 2$ (PitagoraTeorema di Pitagora: in un triangolo rettangolo il quadrato dell'ipotenusa è la somma dei quadrati dei cateti.), e riportandola sulla retta si trova un punto che non corrisponde a nessun razionale.

È la motivazione per introdurre i numeri realiI reali riempiono tutta la retta, senza buchi: contengono i razionali e anche numeri come $\sqrt{2}$.Insiemi numerici (N, Z, Q, R) → $\mathbb{R}$.

Domande tipiche

• Dove si usa che $m$ e $n$ sono primi tra loro? Solo alla fine, per avere la contraddizione. Senza quella scelta non ci sarebbe nessun assurdo ($\frac{m}{n}$ potrebbe benissimo avere numeratore e denominatore pari, come $\frac{6}{8}$).
• Funziona anche per $\sqrt{4}$? No, e deve essere così perché $\sqrt{4} = 2$ è razionale: da $m^2 = 4n^2$ si ottiene solo $m = 2n$, e non si riesce a dire che $n$ è pari. Il ragionamento si inceppa proprio dove deve.

Errori comuni

• Non scegliere la frazione ridotta: allora l'arrivare a "$m$ e $n$ pari" non contraddice nulla.
• Dire "$m^2$ pari, quindi $m$ pari" senza giustificarlo: è il contronominale dell'esercizio 8Lì si dimostra che $n$ dispari implica $n^2$ dispari; la contronominale dà $n^2$ pari implica $n$ pari.Esercizio 8 - n dispari implica n^2 dispari →, va citato.
• NegareLa negazione di un'affermazione è vera esattamente quando l'affermazione è falsa: la negazione di $c \notin \mathbb{Q}$ è $c \in \mathbb{Q}$.Logica e quantificatori → male la tesi: il contrario di $c \notin \mathbb{Q}$ è $c \in \mathbb{Q}$.