Completezza di ℝ: continuità, separazione, estremo superiore

$\mathbb{Q}$ e $\mathbb{R}$ sono entrambi campi totalmente ordinati (vedi Campi ordinati (Q e R)). In che cosa differiscono? $\mathbb{R}$ ha tre proprietà, equivalenti tra loro, che $\mathbb{Q}$ non ha:

proprietà di continuità (o completezza);
proprietà di separazione;
proprietà di esistenza dell'estremo superiore (e inferiore).

Lezioni 4 e 5. Per sup e inf vedi Estremo superiore (sup); esercizio chiave: Esercizio 1 - sup dei razionali con x^2 minore di 2.

I. Proprietà di continuità (geometrica)

$\mathbb{R}$ è in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta.

È di fatto la definizione intuitiva di $\mathbb{R}$ : la "retta reale" non ha buchi. $\mathbb{Q}$ non ha questa proprietà: il punto che si ottiene riportando sulla retta la diagonale del quadrato di lato $1$ non corrisponde a nessun razionale (vedi Esercizio 9 - la radice di 2 non è razionale).

Questa proprietà è geometrica e poco utile nei calcoli. Per questo si introducono due formulazioni equivalenti, più "analitiche".

II. Proprietà di separazione

Definizione. Sia $X \ne \emptyset$ totalmente ordinato. Due sottoinsiemi $A, B \subseteq X$ , non vuoti, si dicono separati se

$a \le b \qquad \forall a \in A, \ \forall b \in B$

cioè ogni elemento di $A$ sta a sinistra (o coincide con) ogni elemento di $B$ .

$X$ ha la proprietà di separazione se per ogni coppia di insiemi $A, B$ separati esiste un elemento separatore $c \in X$ :

$a \le c \le b \qquad \forall a \in A, \ \forall b \in B$

Il separatore può appartenere ad $A$ , a $B$ , o a nessuno dei due. Esempi in $\mathbb{R}$ :

$A = [0, 1]$ , $B = [2, 3]$ : ogni $c \in [1, 2]$ è un separatore (ce ne sono tanti).
$A = [0, 1)$ , $B = [1, 2]$ : l'unico separatore è $c = 1$ , che sta in $B$ ma non in $A$ .
$A = [0, 1)$ , $B = (1, 2]$ : l'unico separatore è $c = 1$ , che non sta in nessuno dei due.

$\mathbb{R}$ ha la proprietà di separazione (ed è equivalente alla proprietà I).

ℚ non ha la proprietà di separazione

Consideriamo (solo razionali!)

$A = \{x \in \mathbb{Q} : x \ge 0, \ x^2 < 2\} \qquad B = \{x \in \mathbb{Q} : x \ge 0, \ x^2 > 2\}$

Intuitivamente $A$ sono i razionali tra $0$ e $\sqrt{2}$ , $B$ quelli oltre $\sqrt{2}$ (useremo $\sqrt{2}$ solo per capire, perché non l'abbiamo ancora definito).

$A$ e $B$ sono separati. Se $a \in A$ e $b \in B$ , allora $a^2 < 2 < b^2$ , e per numeri non negativi $a^2 < b^2 \Rightarrow a < b$ .
L'unico separatore possibile avrebbe quadrato $2$ . Se $c$ fosse un separatore, si dimostra che $c > 0$ e $c^2 = 2$ : infatti se fosse $c^2 < 2$ si troverebbe un elemento di $A$ più grande di $c$ , e se fosse $c^2 > 2$ un elemento di $B$ più piccolo di $c$ (in entrambi i casi $c$ non separerebbe). La prof ha dato questa parte come idea, senza dimostrazione completa.
Ma un $c$ con $c^2 = 2$ non è razionale (teorema della lezione 2). Quindi in $\mathbb{Q}$ non c'è nessun separatore.

$A$ e $B$ sono separati ma non hanno separatore in $\mathbb{Q}$ : $\mathbb{Q}$ non ha la proprietà di separazione. In $\mathbb{R}$ invece il separatore c'è, ed è $\sqrt{2}$ .

III. Proprietà dell'estremo superiore

Ogni sottoinsieme $E \subseteq \mathbb{R}$ , non vuoto e superiormente limitato, ha estremo superiore $\sup E \in \mathbb{R}$ .

(Le definizioni di maggiorante, limitato e sup sono in Estremo superiore (sup): il sup è il minimo dei maggioranti.) Analogamente, ogni $E \ne \emptyset$ inferiormente limitato ha $\inf E \in \mathbb{R}$ .

In $\mathbb{Q}$ è falso: $E = \{x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2\}$ è limitato, ma il suo sup (che in $\mathbb{R}$ è $\sqrt{2}$ ) non è razionale, quindi in $\mathbb{Q}$ il sup non esiste. Vedi Esercizio 1 - sup dei razionali con x^2 minore di 2.

Dimostrazione che II e III sono equivalenti

II $\Rightarrow$ III. Supponiamo che valga la separazione. Sia $E \subseteq \mathbb{R}$ non vuoto e superiormente limitato; vogliamo trovare $\sup E$ .

Sia $B$ l'insieme di tutti i maggioranti di $E$ . Non è vuoto, perché $E$ è superiormente limitato (ha almeno un maggiorante).
$E$ e $B$ sono separati: se $a \in E$ e $L \in B$ , allora $a \le L$ , proprio perché $L$ è un maggiorante.
Per la proprietà di separazione esiste $c \in \mathbb{R}$ con $a \le c \le L$ per ogni $a \in E$ e ogni $L \in B$ .
La prima disuguaglianza ( $a \le c$ per ogni $a \in E$ ) dice che $c$ è un maggiorante di $E$ . La seconda ( $c \le L$ per ogni maggiorante $L$ ) dice che $c$ è il più piccolo dei maggioranti.
Quindi $c = \sup E$ , e $\sup E \in \mathbb{R}$ ∎.

III $\Rightarrow$ II. Supponiamo che ogni insieme non vuoto superiormente limitato abbia sup in $\mathbb{R}$ . Siano $A, B \subseteq \mathbb{R}$ non vuoti e separati; vogliamo un separatore.

Fissato un qualunque $b \in B$ , si ha $a \le b$ per ogni $a \in A$ : quindi ogni $b \in B$ è un maggiorante di $A$ , e $A$ è superiormente limitato.
Per la III esiste $c = \sup A \in \mathbb{R}$ .
$c$ è un maggiorante di $A$ : $a \le c$ per ogni $a \in A$ .
$c$ è il minimo dei maggioranti, e ogni $b \in B$ è un maggiorante: quindi $c \le b$ per ogni $b \in B$ .
Dunque $a \le c \le b$ per ogni $a \in A$ , $b \in B$ : $c$ è un separatore ∎.

Riassunto: ℝ contro ℚ

	campo totalmente ordinato	continuità (I)	separazione (II)	esistenza del sup (III)
$\mathbb{R}$	sì	sì	sì	sì
$\mathbb{Q}$	sì	no	no	no

Grazie alla III, in $\mathbb{R}$ si può dire:

Ogni $E \subseteq \mathbb{R}$ , $E \ne \emptyset$ , ha sempre $\inf E \in \mathbb{R}$ oppure $\inf E = -\infty$ , e $\sup E \in \mathbb{R}$ oppure $\sup E = +\infty$ .

(Se $E$ è superiormente limitato il sup è un numero reale per la III; se non lo è, per definizione $\sup E = +\infty$ .)

La definizione di radice quadrata

L'esercizio sul sup di $\{x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2\}$ è proprio il modo rigoroso di definire $\sqrt{2}$ :

$\sqrt{2} = \sup\{x \in \mathbb{Q} : x^2 < 2\}$

(il sup esiste in $\mathbb{R}$ per la III). Più in generale, per $y \ge 0$ reale:

$\sqrt{y} = \sup\{x \in \mathbb{Q} : x^2 < y\}$

Questo mostra a cosa serve la completezza: garantisce l'esistenza di numeri (come $\sqrt{2}$ ) che in $\mathbb{Q}$ mancano.

Due teoremi utili negli esercizi

La prof li enuncia senza dimostrazione ("nel libro mancano due teoremi utili negli esercizi").

Teorema (densità di $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$ ). Per ogni $x, y \in \mathbb{R}$ con $x < y$ esiste $q \in \mathbb{Q}$ tale che $x < q < y$ .

In parole: tra due numeri reali distinti c'è sempre un razionale, per quanto vicini siano. Per esempio tra $\sqrt{2} \approx 1{,}41421$ e $1{,}4143$ c'è il razionale $1{,}4142 = \frac{14142}{10000}$ . (Idea: si prende un decimale finito, che è razionale, troncando $y$ a un numero di cifre sufficiente.)

Quando si usa: ogni volta che un insieme è fatto di razionali e bisogna trovare un suo elemento in una certa zona, per esempio per dimostrare la condizione con $\varepsilon$ del sup o dell'inf. Esempi: Esercizio 1 - sup dei razionali con x^2 minore di 2 e Esercizio 13 - razionali minori di 3.

Principio di Archimede. Per ogni $x \in \mathbb{R}$ esiste $n \in \mathbb{N}$ con $n > x$ . Vedi Archimedeità di N: si usa quando l'insieme è fatto di termini $x_n$ indicizzati da $n \in \mathbb{N}$ .

Errori comuni

Pensare che in $\mathbb{Q}$ ogni insieme limitato abbia sup: è proprio ciò che distingue $\mathbb{Q}$ da $\mathbb{R}$ .
Confondere "separati" con "disgiunti": $[0, 1]$ e $[1, 2]$ sono separati ma hanno in comune il punto $1$ ; $\{0, 2\}$ e $\{1\}$ sono disgiunti ma non separati (non vale $2 \le 1$ ).
Credere che il separatore sia unico: lo è solo quando gli insiemi "si toccano".