Esercizio 14

Testo (Lezione 6, esercizio 7 del foglio). Risolvere

$$x\,|x - 1| - 5x + 5 \ge 0$$

Passo 0: strategia

C'è un solo modulo, $|x - 1|$, ma non è isolato (è moltiplicato per $x$ e ci sono altri termini). Le regole rapideLe proprietà del modulo per equazioni e disequazioni: funzionano quando il modulo è da solo in un membro.Valore assoluto (modulo) → tipo "$|f| \le g \iff -g \le f \le g$" non si applicano direttamente. Si usa allora la definizione$\lvert t \rvert = t$ se $t \ge 0$ e $\lvert t \rvert = -t$ se $t < 0$: si toglie il modulo con il segno giusto.Valore assoluto (modulo) → del modulo: si divide la retta nelle zone in cui $x - 1$ ha segno costante, e in ciascuna zona il modulo si toglie con il segno giusto.

Passo 1: togliere il modulo

$$|x - 1| = \begin{cases} x - 1 & \text{se } x - 1 \ge 0, \text{ cioè } x \ge 1 \\ -(x - 1) & \text{se } x - 1 < 0, \text{ cioè } x < 1 \end{cases}$$

Errore tipico segnalato dalla prof: scrivere i casi come "$x \ge 0$" e "$x < 0$". Il caso si decide guardando il segno di ciò che sta dentro il moduloL'argomento del modulo: è il suo segno, non quello di $x$, a decidere come togliere il modulo., cioè $x - 1$, non il segno di $x$. Il punto di separazione è $x = 1$ (dove $x - 1 = 0$).

La disequazione diventa l'unioneLe soluzioni totali sono quelle del primo sistema insieme a quelle del secondo: basta soddisfarne uno.Operazioni tra insiemi → di due sistemiIn un sistema le condizioni devono valere tutte insieme: si tengono le $x$ comuni a tutte. (ogni $x$ cade in uno solo dei due casi):

$$\begin{cases} x \ge 1 \\ x(x-1) - 5x + 5 \ge 0 \end{cases} \quad \cup \quad \begin{cases} x < 1 \\ -x(x-1) - 5x + 5 \ge 0 \end{cases}$$

Passo 2: primo sistema ($x \ge 1$)

Sviluppiamo: $x(x - 1) - 5x + 5 = x^2 - x - 5x + 5 = x^2 - 6x + 5$.

Disequazione $x^2 - 6x + 5 \ge 0$. RadiciI valori di $x$ che annullano il polinomio: separano le zone in cui ha segno costante. dell'equazione $x^2 - 6x + 5 = 0$ (formula ridottaPer $x^2 + bx + c = 0$ con $b$ pari: $x = -\frac{b}{2} \pm \sqrt{\frac{b^2}{4} - c}$, con conti più semplici., $b/2 = -3$):

$$x_{1,2} = 3 \pm \sqrt{9 - 5} = 3 \pm 2 \quad \Rightarrow \quad x_1 = 1, \ x_2 = 5$$

La parabola $y = x^2 - 6x + 5$ è rivolta verso l'altoCon coefficiente di $x^2$ positivo la parabola scende e poi risale: è negativa tra le radici e positiva fuori. (coefficiente di $x^2$ positivo), quindi è $\ge 0$ fuori dalle radici: $x \le 1$ oppure $x \ge 5$.

IntersechiamoSi tengono solo le $x$ che soddisfano entrambe le condizioni del sistema: la disequazione e la condizione del caso.Operazioni tra insiemi → con $x \ge 1$:

• "$x \le 1$" e "$x \ge 1$" insieme danno solo $x = 1$;
• "$x \ge 5$" e "$x \ge 1$" danno $x \ge 5$.

Soluzioni del primo sistema: $x = 1$ oppure $x \ge 5$.

Passo 3: secondo sistema ($x < 1$)

Sviluppiamo: $-x(x - 1) - 5x + 5 = -x^2 + x - 5x + 5 = -x^2 - 4x + 5$.

Disequazione $-x^2 - 4x + 5 \ge 0$. Moltiplichiamo per $-1$ per avere il coefficiente di $x^2$ positivo (il verso si inverteMoltiplicando i due membri di una disuguaglianza per un numero negativo il verso si rovescia: $\ge$ diventa $\le$.Campi ordinati (Q e R) →):

$$x^2 + 4x - 5 \le 0$$

Radici: $x_{1,2} = -2 \pm \sqrt{4 + 5} = -2 \pm 3$, cioè $x_1 = -5$, $x_2 = 1$. Parabola verso l'alto, $\le 0$ tra le radici: $-5 \le x \le 1$.

Intersechiamo con $x < 1$: $-5 \le x < 1$ (il punto $1$ si perde perché il sistema richiede $x < 1$).

Soluzioni del secondo sistema: $-5 \le x < 1$.

Passo 4: unione

$$\{x = 1\} \cup [5, +\infty) \cup [-5, 1) = [-5, 1] \cup [5, +\infty)$$

Il punto $x = 1$, perso nel secondo sistema, è recuperato dal primo: $[-5, 1) \cup \{1\} = [-5, 1]$.

$$\boxed{x \in [-5, 1] \cup [5, +\infty)}$$

Verifica con valori di prova

Una scorciatoia (facoltativa)

$-5x + 5 = -5(x - 1)$. Quindi nei due casi:

• $x \ge 1$: $x(x-1) - 5(x-1) = (x - 1)(x - 5)$;
• $x < 1$: $-x(x-1) - 5(x-1) = -(x-1)(x+5)$.

RaccogliendoMettere in evidenza il fattore comune $(x-1)$: il polinomio diventa un prodotto, di cui si studia il segno fattore per fattore. $(x - 1)$ le radici si vedono subito, senza formula. Per esempio per $x < 1$: $x - 1 < 0$, quindi $-(x-1) > 0$, e il segno di $-(x-1)(x+5)$ è quello di $x + 5$: è $\ge 0$ per $x \ge -5$. Stesso risultato.

Errori comuni

• Casi "$x \ge 0$ / $x < 0$" invece di "$x \ge 1$ / $x < 1$".
• Dimenticare di intersecare le soluzioni di ogni disequazione con la condizione del suo caso.
• Non invertire il verso moltiplicando per $-1$.
• Unire male e perdere il punto $x = 1$.