Esercizio 17

Testo (Lezione 7, esempio). Siano $f(x) = \sqrt{x - 1}$ e $g(x) = x^2 + 1$, con i loro domini naturali. $g$ è l'inversa di $f$?

Passo 0: i domini naturali

I domini contano: l'inversaLa funzione che torna indietro: se $f(x) = y$ allora $f^{-1}(y) = x$. Parte dall'immagine di $f$ e arriva nel dominio di $f$.Funzioni iniettive, suriettive e inverse → di $f$ deve partire dall'immagine di $f$ e tornare nel suo dominio.

• $f(x) = \sqrt{x - 1}$: la radice quadrata richiede $x - 1 \ge 0$Dominio naturale: le $x$ per cui la formula ha senso. Sotto una radice quadrata serve un numero $\ge 0$.Funzioni - definizione, dominio e grafico →, cioè $x \ge 1$. Quindi $f : [1, +\infty) \to \mathbb{R}$. I suoi valori sono radici quadrate, quindi $\ge 0$: $f([1, +\infty)) = [0, +\infty)$L'immagine di $f$: l'insieme di tutti i valori che $f$ assume sul suo dominio.Funzioni - definizione, dominio e grafico →.
• $g(x) = x^2 + 1$: un polinomioSomma di potenze di $x$ moltiplicate per numeri: non ha divisioni né radici, quindi si calcola per ogni $x$ reale., definito ovunque. Quindi $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$.

Passo 1: cosa bisogna verificare

$g$ è l'inversa di $f$Caratterizzazione dell'inversa: $g(f(x)) = x$ su tutto il dominio di $f$ e $f(g(y)) = y$ su tutto il dominio di $g$.Funzioni iniettive, suriettive e inverse → se e solo seDoppia implicazione: le due affermazioni sono entrambe vere o entrambe false.Logica e quantificatori → valgono entrambe:

1. $g(f(x))$Funzione composta: prima si applica $f$ a $x$, poi si applica $g$ al risultato.Composizione e operazioni tra funzioni → $= x$ per ogni $x \in$ $\mathrm{Dom}(f)$Il dominio di $f$: l'insieme delle $x$ su cui $f$ è definita.Funzioni - definizione, dominio e grafico →;
2. $f(g(y)) = y$ per ogni $y$ nel dominio di $g$ (che dovrebbe essere l'immagine di $f$).

Passo 2: la condizione 1

Per $x \ge 1$:

$$g(f(x)) = \left(\sqrt{x - 1}\right)^2 + 1 = (x - 1) + 1 = x$$

(per $x \ge 1$ il numero $x - 1$ è $\ge 0$ e $(\sqrt{t})^2 = t$La radice quadrata di $t \ge 0$ è il numero $\ge 0$ il cui quadrato è $t$: elevandola al quadrato si ritrova $t$.Funzioni potenza → per ogni $t \ge 0$). La condizione 1 è vera per ogni $x \in [1, +\infty)$ ✓.

Passo 3: la condizione 2

Per ogni $x \in \mathbb{R}$ (dominio di $g$):

$$f(g(x)) = \sqrt{(x^2 + 1) - 1} = \sqrt{x^2} = |x|$$

(ricorda: $\sqrt{x^2} = |x|$, non $x$; vedi Valore assoluto (modulo)$\sqrt{x^2}$ è il numero $\ge 0$ il cui quadrato è $x^2$: vale $x$ se $x \ge 0$ e $-x$ se $x < 0$, cioè il modulo di $x$.Valore assoluto (modulo) →). Quindi $f(g(x)) = x$ solo per $x \ge 0$; per $x < 0$ si ottiene $|x| = -x \ne x$. Esempio: $x = -2$: $g(-2) = 5$, $f(5) = \sqrt{4} = 2 \ne -2$.

La condizione 2 è falsa su $\mathbb{R}$.

Conclusione

$g$, definita su tutto $\mathbb{R}$, non è l'inversa di $f$: vale solo una delle due condizioni.

Come si sistema. Il problema è che $g$ è definita anche sui negativi, che $f$ non raggiunge mai (l'immagine di $f$ è $[0, +\infty)$). Se si considera $g(x) = x^2 + 1$ con dominio $[0, +\infty)$Una funzione è data da formula e dominio: cambiando il dominio si ottiene una funzione diversa, detta restrizione.Funzioni - definizione, dominio e grafico →, allora per $x \ge 0$ si ha $|x| = x$, la condizione 2 diventa vera, e questa $g$ è l'inversa di $f$:

$$f : [1, +\infty) \to [0, +\infty), \qquad f^{-1} : [0, +\infty) \to [1, +\infty), \quad f^{-1}(x) = x^2 + 1$$

Verifica con il metodo standardPer trovare l'inversa si ricava $x$ da $y = f(x)$, poi si scambiano i nomi delle variabili.Funzioni iniettive, suriettive e inverse →. Da $y = \sqrt{x - 1}$ (con $y \ge 0$): $y^2 = x - 1$, quindi $x = y^2 + 1$; scambiando le lettere, $f^{-1}(x) = x^2 + 1$ per $x \ge 0$ (il vincolo $y \ge 0$ diventa $x \ge 0$). Il grafico di $f^{-1}$ è il ramo destro della parabola, simmetrico rispetto a $y = x$Il grafico dell'inversa si ottiene ribaltando quello di $f$ sulla bisettrice $y = x$, perché si scambiano $x$ e $y$.Funzioni iniettive, suriettive e inverse → del grafico di $\sqrt{x - 1}$.

Morale

• Si verificano sempre entrambe le condizioni: qui la prima era vera e la seconda no.
• Una funzione è data insieme al suo dominio: la stessa formula $x^2 + 1$ è o non è l'inversa di $f$ a seconda del dominio scelto.
• $\sqrt{x^2} = |x|$.