Corsi › Analisi Matematica 1 › 4. Funzioni Esercizio 28
Testo (Lezione 11). Studiare la funzione y = f ( x ) = arcsin ( sin x ) y = f(x) = \arcsin(\sin x) y = f ( x ) = arcsin ( sin x )
Dalla caratterizzazione dell'inversaSe g g g f f f f ( g ( y ) ) = y f(g(y)) = y f ( g ( y )) = y g ( f ( x ) ) = x g(f(x)) = x g ( f ( x )) = x f f f Funzioni iniettive, suriettive e inverse → applicata ad arcsin \arcsin arcsin sin \sin sin ristretto a [ − π 2 , π 2 ] \left[-\frac\pi2, \frac\pi2\right] [ − 2 π , 2 π ]
sin ( arcsin x ) = x \sin(\arcsin x) = x sin ( arcsin x ) = x x ∈ [ − 1 , 1 ] x \in [-1, 1] x ∈ [ − 1 , 1 ] arcsin ( sin x ) = x \arcsin(\sin x) = x arcsin ( sin x ) = x x ∈ [ − π 2 , π 2 ] x \in \left[-\frac\pi2, \frac\pi2\right] x ∈ [ − 2 π , 2 π ] solo lì!
La formula 2 dice chi è f f f [ − π 2 , π 2 ] \left[-\frac\pi2, \frac\pi2\right] [ − 2 π , 2 π ]
Passo 1: dominio
L'arcosenoarcsin : [ − 1 , 1 ] → [ − π 2 , π 2 ] \arcsin : [-1, 1] \to [-\frac\pi2, \frac\pi2] arcsin : [ − 1 , 1 ] → [ − 2 π , 2 π ] [ − π 2 , π 2 ] [-\frac\pi2, \frac\pi2] [ − 2 π , 2 π ] Funzioni trigonometriche e loro inverse → richiede argomento in [ − 1 , 1 ] [-1, 1] [ − 1 , 1 ] − 1 ≤ sin x ≤ 1 -1 \le \sin x \le 1 − 1 ≤ sin x ≤ 1 x x x D o m ( f ) = R \mathrm{Dom}(f) = \mathbb{R} Dom ( f ) = R
Passo 2: simmetrie e periodicità
Dispari: f ( − x ) = arcsin ( sin ( − x ) ) = arcsin ( − sin x ) = − arcsin ( sin x ) = − f ( x ) f(-x) = \arcsin(\sin(-x)) = \arcsin(-\sin x) = -\arcsin(\sin x) = -f(x) f ( − x ) = arcsin ( sin ( − x )) = arcsin ( − sin x ) = − arcsin ( sin x ) = − f ( x ) sin \sin sin arcsin \arcsin arcsin disparig ( − t ) = − g ( t ) g(-t) = -g(t) g ( − t ) = − g ( t ) Funzioni monotone, pari e dispari → ).
2 π 2\pi 2 π f ( x + 2 π ) = arcsin ( sin ( x + 2 π ) ) = arcsin ( sin x ) = f ( x ) f(x + 2\pi) = \arcsin(\sin(x + 2\pi)) = \arcsin(\sin x) = f(x) f ( x + 2 π ) = arcsin ( sin ( x + 2 π )) = arcsin ( sin x ) = f ( x ) sin \sin sin 2 π 2\pi 2 π
Quindi (vedi Funzioni periodicheUna funzione è periodica di periodo T se si ripete uguale dopo ogni intervallo di lunghezza T: basta studiarla su un intervallo lungo T.Funzioni periodiche → ) basta studiarla su mezzo periodo, [ 0 , π ] [0, \pi] [ 0 , π ]
Passo 3: f f f [ 0 , π ] [0, \pi] [ 0 , π ]
Per x ∈ [ 0 , π 2 ] x \in \left[0, \frac\pi2\right] x ∈ [ 0 , 2 π ] per la formula 2, f ( x ) = x f(x) = x f ( x ) = x
Per x ∈ ( π 2 , π ] x \in \left(\frac\pi2, \pi\right] x ∈ ( 2 π , π ] la formula 2 non si applica direttamente. Il trucco è riportarsi nell'intervallo giusto:
da π 2 < x ≤ π \frac\pi2 < x \le \pi 2 π < x ≤ π − 1 -1 − 1 π \pi π 0 ≤ π − x < π 2 0 \le \pi - x < \frac\pi2 0 ≤ π − x < 2 π π − x ∈ [ 0 , π 2 ) \pi - x \in \left[0, \frac\pi2\right) π − x ∈ [ 0 , 2 π )
e sin ( π − x ) = sin x \sin(\pi - x) = \sin x sin ( π − x ) = sin x sin ( π − x ) = − sin ( x − π ) \sin(\pi - x) = -\sin(x - \pi) sin ( π − x ) = − sin ( x − π ) sin ( x − π ) = − sin x \sin(x - \pi) = -\sin x sin ( x − π ) = − sin x π \pi π sin ( π − x ) = − ( − sin x ) = sin x \sin(\pi - x) = -(-\sin x) = \sin x sin ( π − x ) = − ( − sin x ) = sin x
Allora
f ( x ) = arcsin ( sin x ) = arcsin ( sin ( π − x ) ) = π − x f(x) = \arcsin(\sin x) = \arcsin(\sin(\pi - x)) = \pi - x f ( x ) = arcsin ( sin x ) = arcsin ( sin ( π − x )) = π − x
dove nell'ultimo passaggio si è usata la formula 2 con π − x ∈ [ 0 , π 2 ] \pi - x \in \left[0, \frac\pi2\right] π − x ∈ [ 0 , 2 π ]
Riassumendo su [ 0 , π ] [0, \pi] [ 0 , π ]
f ( x ) = { x 0 ≤ x ≤ π 2 π − x π 2 < x ≤ π f(x) = \begin{cases} x & 0 \le x \le \frac\pi2 \\ \pi - x & \frac\pi2 < x \le \pi \end{cases} f ( x ) = { x π − x 0 ≤ x ≤ 2 π 2 π < x ≤ π
Il grafico sale lungo la bisettrice da ( 0 , 0 ) (0, 0) ( 0 , 0 ) ( π 2 , π 2 ) \left(\frac\pi2, \frac\pi2\right) ( 2 π , 2 π ) ( π , 0 ) (\pi, 0) ( π , 0 )
Passo 4: tutto il grafico
Per simmetria dispari si ottiene [ − π , 0 ] [-\pi, 0] [ − π , 0 ] ( − π 2 , − π 2 ) \left(-\frac\pi2, -\frac\pi2\right) ( − 2 π , − 2 π ) ( − π , 0 ) (-\pi, 0) ( − π , 0 ) onda triangolare di periodo 2 π 2\pi 2 π π 2 \frac\pi2 2 π
Grafico interattivo: y = arcsin(sin x): un'onda triangolare di periodo 2π; coincide con y = x solo su [−π/2, π/2]
Attenzione
arcsin ( sin x ) = x ∀ x ∈ R NO! \arcsin(\sin x) = x \quad \forall x \in \mathbb{R} \qquad \textbf{NO!} arcsin ( sin x ) = x ∀ x ∈ R NO!
Vale solo per x ∈ [ − π 2 , π 2 ] x \in \left[-\frac\pi2, \frac\pi2\right] x ∈ [ − 2 π , 2 π ] arcsin ( sin π ) = arcsin 0 = 0 ≠ π \arcsin(\sin \pi) = \arcsin 0 = 0 \ne \pi arcsin ( sin π ) = arcsin 0 = 0 = π arcsin ( sin 3 π 4 ) = arcsin 2 2 = π 4 = π − 3 π 4 \arcsin\left(\sin\frac{3\pi}{4}\right) = \arcsin\frac{\sqrt2}{2} = \frac\pi4 = \pi - \frac{3\pi}{4} arcsin ( sin 4 3 π ) = arcsin 2 2 = 4 π = π − 4 3 π π − x \pi - x π − x
Invece sin ( arcsin x ) = x \sin(\arcsin x) = x sin ( arcsin x ) = x ogni x x x arcsin \arcsin arcsin [ − 1 , 1 ] [-1, 1] [ − 1 , 1 ]
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