Lezione 1 — Logica e insiemistica

Data: lunedì 29 settembre 2025 · Capitolo 1: I numeri · Videolezione: n. 1 della playlist ("Lezione 1", 1h35)

Argomenti trattati

1. Logica: notazioni (insiemi, elementi, $\in$, $\emptyset$), proposizioni, connettivi ($\text{non}$, $\Rightarrow$, $\Leftrightarrow$), predicati, quantificatori ($\forall$, $\exists$, $\nexists$, $\exists!$), negazione di "per ogni" ed "esiste".
2. Insiemistica: rappresentazione degli insiemi (elencazione, predicati, diagrammi di Venn); inclusione, inclusione stretta, uguaglianza; insiemi numerici $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$ (rappresentazione frazionaria e decimale); insieme delle parti ed errori frequenti con $\in$ e $\subseteq$; prodotto cartesiano, $\mathbb{R}^2$ e $\mathbb{R}^3$.
3. Operazioni insiemistiche: unione, intersezione, differenza, complementare; proprietà; leggi di De Morgan; esempio con disequazioni; intervalli e semirette.
4. Uso della logica: operazioni tra insiemi come connettivi logici, leggi di De Morgan logiche; inizio delle dimostrazioni (ipotesi, tesi, dimostrazione diretta).

Teoria

• Logica e quantificatoriProposizioni, connettivi, predicati e quantificatori (per ogni, esiste), con le regole per negarli.Logica e quantificatori → — proposizioni, predicati, quantificatori e come si negano
• Insiemi e insieme delle partiCome si descrive un insieme, sottoinsiemi, uguaglianza, insieme delle parti e insiemi finiti e infiniti.Insiemi e insieme delle parti → — rappresentazioni, inclusione, uguaglianza, $\mathcal{P}(A)$, errori con $\in$ e $\subseteq$
• Insiemi numerici (N, Z, Q, R)Naturali, interi, razionali e reali, perché la radice di 2 obbliga a passare da Q a R, e gli intervalli.Insiemi numerici (N, Z, Q, R) → — $\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}$, rappresentazione decimale, intervalli e semirette
• Operazioni tra insiemiUnione, intersezione, differenza, complementare e prodotto cartesiano, con le leggi di De Morgan e il legame con la logica.Operazioni tra insiemi → — unione, intersezione, complementare, De Morgan, legame con la logica, prodotto cartesiano
• Tecniche di dimostrazioneDimostrazione diretta, per contronominale e per assurdo di un teorema del tipo ipotesi implica tesi.Tecniche di dimostrazione → — ipotesi e tesi (la lezione si chiude con la dimostrazione diretta; il resto è nella lezione 2)

Esercizi

• Esercizio 7 - unione, intersezione e complementari con disequazioni — l'esempio della lezione: $A \cup B$, $A \cap B$, $A^c \cup B^c$
• Esercizio 6 - numero di sottoinsiemi (insieme delle parti) — dimostra la formula $|\mathcal{P}(A)| = 2^n$ vista a lezione (usa l'induzione della lezione 3)

Lezione successiva: Lezione 02 - Dimostrazioni, sommatorie e calcolo combinatorio