Esercizio 16

Testo (Lezione 7, esempio 1). Sia $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $y = f(x) = 2x$. Determinare $f(\mathbb{R})$, $f([-1, 3])$, $f^{\leftarrow}([-1, 3])$.

Passo 0: cosa si chiede

• $f(\mathbb{R})$ = l'immagineL'insieme di tutti i valori $f(x)$ che la funzione assume al variare di $x$ nel dominio.Funzioni - definizione, dominio e grafico → di $f$: tutti i valori $2x$ al variare di $x \in \mathbb{R}$.
• $f([-1, 3])$Immagine di un insieme $A$: i valori $f(x)$ ottenuti con $x$ in $A$, cioè $f(A)$.Funzioni - definizione, dominio e grafico → = i valori $2x$ quando $x$ varia solo in $[-1, 3]$ (si parte dalle $x$, si guarda dove si arriva).
• $f^{\leftarrow}([-1, 3])$Antimmagine di un insieme $B$: le $x$ del dominio con $f(x) \in B$. Non richiede che $f$ sia invertibile.Funzioni - definizione, dominio e grafico → = le $x$ tali che $2x$ cade in $[-1, 3]$ (si parte dalle $y$, si cerca da dove vengono).

Attenzione: il testo usa lo stesso intervallo $[-1, 3]$ per entrambe le domande, ma una volta è un insieme di $x$ e una volta un insieme di $y$. I risultati sono diversi.

Metodo analitico

$f(\mathbb{R})$

$$f(\mathbb{R}) = \{y \in \mathbb{R} : y = 2x, \ x \in \mathbb{R}\}$$

Un numero $y$ sta nell'immagine se esiste un $x$ con $2x = y$. EsplicitandoRicavando $x$ in funzione di $y$ dall'equazione $y = 2x$., $x = \frac{y}{2}$, e questo $x$ è un numero reale per ogniQuantificatore $\forall$: qualunque $y$ reale si scelga, il corrispondente $x$ esiste.Logica e quantificatori → $y$ (la condizione "$-\infty < x < +\infty$" diventa "$-\infty < \frac{y}{2} < +\infty$", sempre vera). Quindi ogni $y$ è raggiunto:

$$f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}$$

$f([-1, 3])$

$$f([-1, 3]) = \{y : y = 2x, \ -1 \le x \le 3\}$$

Sostituendo $x = \frac{y}{2}$ nella condizione su $x$:

$$-1 \le \frac{y}{2} \le 3 \iff -2 \le y \le 6$$

(moltiplicando tutti i membri per $2 > 0$, il verso non cambiaMoltiplicando i membri di una disuguaglianza per un numero positivo il verso resta lo stesso; per un negativo si inverte.Campi ordinati (Q e R) →). Quindi

$$f([-1, 3]) = [-2, 6]$$

Controllo agli estremi: $f(-1) = -2$ e $f(3) = 6$: gli estremi dell'intervallo di partenza vanno negli estremi dell'immagine (perché $f$ è crescenteSe $x_1 < x_2$ allora $f(x_1) < f(x_2)$: il punto più a sinistra va nel valore più basso, quello più a destra nel più alto.Funzioni monotone, pari e dispari →).

$f^{\leftarrow}([-1, 3])$

$$f^{\leftarrow}([-1, 3]) = \{x \in \mathbb{R} : -1 \le 2x \le 3\}$$

È una doppia disequazioneDue disuguaglianze scritte insieme, come $a \le t \le b$: si opera su tutti e tre i membri contemporaneamente. in $x$: dividendo per $2 > 0$,

$$-\frac{1}{2} \le x \le \frac{3}{2}$$

$$f^{\leftarrow}([-1, 3]) = \left[-\frac12, \frac32\right]$$

Controllo: $f\left(-\frac12\right) = -1$ e $f\left(\frac32\right) = 3$ ✓.

Metodo grafico

Il grafico di $f(x) = 2x$ è la retta per l'origine con pendenzaDi quanto sale la retta $y = mx$ quando $x$ aumenta di $1$: qui $m = 2$. $2$.

• $f(\mathbb{R})$ = proiezione di tutto il grafico sull'asse $y$Metodo grafico: l'immagine si legge sull'asse $y$, raccogliendo le ordinate di tutti i punti del grafico.Funzioni - definizione, dominio e grafico →: la retta sale senza fine in entrambe le direzioni, quindi copre tutto l'asse $y$: $\mathbb{R}$.
• $f([-1, 3])$ = si prende solo la parte di retta sopra $[-1, 3]$, cioè il segmento da $(-1, -2)$ a $(3, 6)$, e lo si proietta sull'asse $y$: $[-2, 6]$.
• $f^{\leftarrow}([-1, 3])$ = si tracciano le rette orizzontali $y = -1$ e $y = 3$; incontrano il grafico nei punti $\left(-\frac12, -1\right)$ e $\left(\frac32, 3\right)$; la parte di grafico tra le due rette, proiettata sull'asse $x$L'antimmagine si legge sull'asse $x$: si prendono le ascisse dei punti del grafico la cui ordinata sta nell'insieme dato.Funzioni - definizione, dominio e grafico →, è $\left[-\frac12, \frac32\right]$.

Risultato

Errori comuni

• Confondere $f([-1,3])$ con $f^{\leftarrow}([-1,3])$: nel primo $[-1, 3]$ è un insieme di $x$, nel secondo di $y$.
• Proiettare sull'asse sbagliato: l'immagine si legge sull'asse $y$, l'antimmagine sull'asse $x$.