Esercizio 24

Testo (Lezione 10, esercizio 5 del foglio). Risolvere

$$\cosh(x^2 + x - 2) \ge \cosh 2$$

Passo 0: l'errore da evitare

$$\cosh(\ldots) \ge \cosh 2 \iff x^2 + x - 2 \ge 2 \qquad \textbf{ERRATO!}$$

"Togliere" il $\cosh$ da entrambi i membri conservando il verso sarebbe lecito solo se $\cosh$ fosse strettamente crescenteSolo applicando (o togliendo) una funzione strettamente crescente su tutto l'insieme considerato il verso si conserva.Disequazioni con potenze e radici → su tutto $\mathbb{R}$. Ma il coseno iperbolico$\cosh t = \frac{e^t + e^{-t}}{2}$: pari, vale 1 in 0, decresce per $t < 0$ e cresce per $t > 0$.Funzioni iperboliche → è pari: per esempio $\cosh(-3) = \cosh 3 \ge \cosh 2$, ma $-3 \ge 2$ è falso. Con quel passaggio si perderebbero soluzioni.

Passo 1: metodo grafico

Chiamiamo $X = x^2 + x - 2$. Risolviamo prima $\cosh X \ge \cosh 2$ nell'incognita $X$, con il metodo graficoSi disegnano $y = \cosh X$ e la retta $y = \cosh 2$: le soluzioni sono le $X$ dove la curva sta sopra la retta.Funzioni - definizione, dominio e grafico →:

$$\begin{cases} y = \cosh X \\ y = \cosh 2 \end{cases}$$

La retta orizzontale $y = \cosh 2$ taglia la "U" del coseno iperbolico in due punti, $X = -2$ e $X = 2$ (per la simmetria pari). La curva sta sopra la retta fuori da questi punti:

$$\cosh X \ge \cosh 2 \iff X \le -2 \quad \text{oppure} \quad X \ge 2$$

Perché è giusto (senza grafico): $\cosh$ è pari, quindi $\cosh X = \cosh |X|$; ed è strettamente crescente su $[0, +\infty)$. Allora $\cosh X \ge \cosh 2 \iff \cosh|X| \ge \cosh 2 \iff |X| \ge 2$, e per la proprietà 5 del modulo$\lvert X \rvert \ge r$ con $r > 0$ equivale a $X \le -r$ oppure $X \ge r$.Valore assoluto (modulo) → questo è $X \le -2$ oppure $X \ge 2$.

Passo 2: tornare a $x$

Le soluzioni sono l'unione"Oppure": si prendono le $x$ che soddisfano almeno una delle due disequazioni.Operazioni tra insiemi → di quelle di due disequazioni.

$X \le -2$: $x^2 + x - 2 \le -2 \iff x^2 + x \le 0 \iff x(x + 1) \le 0$. Radici $0$ e $-1$, parabola verso l'alto, $\le 0$ tra le radiciUn polinomio di secondo grado con coefficiente di $x^2$ positivo è negativo tra le due radici e positivo fuori.: $-1 \le x \le 0$.

$X \ge 2$: $x^2 + x - 2 \ge 2 \iff x^2 + x - 4 \ge 0$. Radici

$$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 16}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{17}}{2}$$

($\sqrt{17} \approx 4{,}12$, quindi $x_1 \approx -2{,}56$ e $x_2 \approx 1{,}56$). Parabola verso l'alto, $\ge 0$ fuori dalle radici: $x \le \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}$ oppure $x \ge \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$.

Risultato

$$x \in \left(-\infty, \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}\right] \cup [-1, 0] \cup \left[\frac{-1 + \sqrt{17}}{2}, +\infty\right)$$

(Ordine sulla retta: $\frac{-1-\sqrt{17}}{2} \approx -2{,}56 < -1 < 0 < 1{,}56 \approx \frac{-1+\sqrt{17}}{2}$: i tre pezzi sono separati.)

Controllo: $x = -0{,}5$: $X = 0{,}25 - 0{,}5 - 2 = -2{,}25 \le -2$ ✓ (è soluzione, ed è proprio una di quelle che l'errore del Passo 0 avrebbe perso). $x = 1$: $X = 0$, $\cosh 0 = 1 < \cosh 2$ ✓ escluso.

Generalizzazione

Per $\cosh x = a$ o $\cosh x \ge a$ con $a \in \mathbb{R}$ si ragiona allo stesso modo con la retta $y = a$: se $a < 1$ la retta sta sotto la "U" ($\cosh x = a$ non ha soluzioni, $\cosh x \ge a$ è sempre vera); se $a = 1$ la tocca solo in $x = 0$; se $a > 1$ la taglia in due punti simmetrici.