Esercizio 21

Testo (Lezione 10, esercizio 2 del foglio). Determinare, per ogni $a \in \mathbb{R}$, dominio e segno di

$$f(x) = \log_{1/3}\left(\frac{1}{2x} - \frac{1}{|3x - a|}\right)$$

Passo 0: struttura della funzione

Chiamiamo $X = \frac{1}{2x} - \frac{1}{|3x - a|}$ l'argomento del logaritmo, così $f(x) = \log_{1/3}(X)$. Ci servono due fatti sul logaritmo in base $\frac13$Base compresa tra 0 e 1: il logaritmo è definito solo per argomenti positivi ed è strettamente decrescente.Esponenziale e logaritmo →:

• esiste solo se $X > 0$;
• è strettamente decrescente (base $\frac13 < 1$), vale $0$ per $X = 1$, è positivo per $0 < X < 1$ e negativo per $X > 1$.

Passo 1: dominio

Il dominio naturaleLe $x$ per cui tutte le operazioni della formula hanno senso: denominatori diversi da zero, argomenti dei logaritmi positivi.Funzioni - definizione, dominio e grafico → richiede: i denominatori non nulli ($x \ne 0$ e $3x - a \ne 0$, cioè $x \ne \frac{a}{3}$) e l'argomento positivo:

$$\begin{cases} x \ne 0, \ x \ne \frac{a}{3} \\ \frac{1}{2x} - \frac{1}{|3x - a|} > 0 \end{cases}$$

Riscriviamo la disequazione. $\frac{1}{2x} > \frac{1}{|3x - a|}$. Il membro destro è positivo (un modulo non nullo al denominatore): quindi anche $\frac{1}{2x}$ deve essere positivo, cioè $x > 0$. La condizione diventa

$$0 < \frac{1}{|3x - a|} < \frac{1}{2x} \qquad (x > 0)$$

Passiamo ai reciproci. Per numeri positivi, passare ai reciproci inverte il versoSe $0 < a < b$ allora $\frac1a > \frac1b$: dividere per un numero più grande dà un risultato più piccolo.Campi ordinati (Q e R) →:

$$2x < |3x - a|$$

Togliamo il modulo con la proprietà 5$\lvert t \rvert > r$ con $r > 0$ equivale a $t < -r$ oppure $t > r$.Valore assoluto (modulo) → (qui $r = 2x > 0$):

$$3x - a < -2x \quad \text{oppure} \quad 3x - a > 2x \iff x < \frac{a}{5} \quad \text{oppure} \quad x > a$$

Il dominio è quindi dato dal sistemaLe condizioni (I) e (II) devono valere insieme: si tengono le $x$ comuni.

$$\begin{cases} x > 0, \ x \ne \frac{a}{3} & \text{(I)} \\ x < \frac{a}{5} \ \text{ oppure } \ x > a & \text{(II)} \end{cases}$$

e la risposta dipende dal segno del parametroUn numero $a$ fissato ma non noto: si risolve l'esercizio distinguendo i casi possibili per $a$. $a$ (che decide dove stanno $\frac{a}{5}$, $\frac{a}{3}$, $a$ rispetto a $0$).

Caso $a > 0$

Sulla retta l'ordine è $0 < \frac{a}{5} < \frac{a}{3} < a$. La (II) dà $(-\infty, \frac{a}{5}) \cup (a, +\infty)$; intersecando con $x > 0$ resta $(0, \frac{a}{5}) \cup (a, +\infty)$. Il punto $\frac{a}{3}$ è già escluso (sta tra $\frac{a}{5}$ e $a$).

$$\mathrm{Dom}(f) = \left(0, \tfrac{a}{5}\right) \cup (a, +\infty)$$

Caso $a = 0$

(I): $x > 0$, $x \ne 0$. (II): $x < 0$ oppure $x > 0$. Insieme: $x > 0$.

$$\mathrm{Dom}(f) = (0, +\infty)$$

Caso $a < 0$

Ora $a < \frac{a}{3} < \frac{a}{5} < 0$: tutti negativi. Ogni $x > 0$ soddisfa $x > a$, quindi la (II) è automaticamente vera; e $\frac{a}{3} < 0$ non dà fastidio.

$$\mathrm{Dom}(f) = (0, +\infty)$$

Controllo numerico ($a = 5$): dominio $(0, 1) \cup (5, +\infty)$. Con $x = 2$ (escluso): $\frac14 - \frac{1}{|6 - 5|} = -\frac34 < 0$ ✓, il logaritmo non esiste. Con $x = \frac12$ (incluso): $1 - \frac{1}{|1{,}5 - 5|} = 1 - \frac{1}{3{,}5} > 0$ ✓.

Passo 2: segno

$f(x) \ge 0 \iff \log_{1/3}(X) \ge 0$. Ci sono due modi per tradurlo.

• Dal grafico di $\log_{1/3}$: è $\ge 0$ esattamente quando $0 < X \le 1$.
• Analiticamente: si applica a entrambi i membri la funzione $t \mapsto \left(\frac13\right)^t$, che è strettamente decrescenteApplicando ai due membri una funzione strettamente decrescente il verso della disuguaglianza si inverte.Disequazioni con potenze e radici →, quindi il verso si inverte: $\left(\frac13\right)^{\log_{1/3} X} \le \left(\frac13\right)^0$, cioè $X \le 1$.

Quindi il segno si studia con il sistema

$$f(x) \ge 0 \iff \begin{cases} x \in \mathrm{Dom}(f) \\ \frac{1}{2x} - \frac{1}{|3x - a|} \le 1 \end{cases}$$

La prof si ferma qui ("…"). Due osservazioni permettono di andare avanti.

Per $x \ge \frac12$ (nel dominio) $f$ è sempre positiva. Infatti $X = \frac{1}{2x} - \frac{1}{|3x-a|} < \frac{1}{2x} \le 1$ (si toglie una quantità positiva, e $2x \ge 1$). Quindi la disequazione è interessante solo per $0 < x < \frac12$, dove la risposta dipende da $a$ in modo complicato.

Il caso $a = 0$ si completa facilmente. Per $x > 0$, $|3x| = 3x$ e

$$X = \frac{1}{2x} - \frac{1}{3x} = \frac{3 - 2}{6x} = \frac{1}{6x}$$

$X \le 1 \iff \frac{1}{6x} \le 1 \iff 6x \ge 1$ (moltiplicando per $6x > 0$Moltiplicando i due membri per un numero positivo il verso della disuguaglianza non cambia.Campi ordinati (Q e R) →) $\iff x \ge \frac16$. Quindi, per $a = 0$: $f(x) > 0$ per $x > \frac16$, $f(\frac16) = 0$, $f(x) < 0$ per $0 < x < \frac16$.

Controllo: $x = 1$: $f(1) = \log_{1/3}\frac16 > 0$ ✓ (argomento tra $0$ e $1$); $x = \frac{1}{12}$: $X = 2$, $f = \log_{1/3} 2 < 0$ ✓.

Risultato (dominio)

Errori comuni

• Dimenticare che $\frac{1}{2x}$ deve essere positivo, e quindi che $x > 0$.
• Passare ai reciproci senza invertire il verso.
• Dimenticare che $\log_{1/3}$ è decrescente: $\log_{1/3} X \ge 0$ significa $X \le 1$, non $X \ge 1$.