Lezione 10 — Funzioni iperboliche ed esercizi del foglio

Data: mercoledì 15 ottobre 2025 · Capitolo 2: Funzioni elementari · Videolezione: n. 11 della playlist ("Lezione 10", 1h38)

Argomenti trattati

1. Errore frequente con i logaritmi: $\log_a(x^4) = 4\log_a|x|$, non $4\log_a x$.
2. Funzioni iperboliche: $\sinh$, $\cosh$, $\tanh$ (simmetrie, monotonia, grafici, $-1 < \tanh x < 1$); proprietà fondamentale $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ con dimostrazione; significato geometrico (iperbole $X^2 - Y^2 = 1$).
3. Inverse: $\mathrm{settsinh}$, $\mathrm{settcosh}$ (su $[1, +\infty)$), $\mathrm{setttanh}$; formule esplicite con il logaritmo e dimostrazione di quella di $\mathrm{settsinh}$ (trucco: moltiplicare per $e^x$ e porre $t = e^x$).
4. Esercizi del foglio 2–6: dominio e segno di un logaritmo con parametro; antimmagine di $[0, +\infty)$ con radici cubiche e quadrate; equazione esponenziale con modulo (prima tutto nella stessa base!); disequazione $\cosh(x^2 + x - 2) \ge \cosh 2$ (errore frequente); testo dell'esercizio 6 (svolto nella lezione 11).

Teoria

• Funzioni iperbolicheSeno, coseno e tangente iperbolici costruiti con e^x ed e^(-x), la relazione cosh^2 - sinh^2 = 1 e le loro inverse con formula esplicita.Funzioni iperboliche →
• Esponenziale e logaritmoLa funzione esponenziale a^x (base positiva diversa da 1) e la sua inversa, il logaritmo in base a, con grafici e proprietà.Esponenziale e logaritmo → — sezione "Errori comuni"
• Disequazioni con potenze e radiciSi può applicare ai due membri di una disequazione una funzione strettamente monotona; con le radici di indice pari servono le condizioni sui segni.Disequazioni con potenze e radici → — schemi usati negli esercizi

Esercizi (foglio 2)

• Esercizio 21 - dominio e segno di un logaritmo con parametro — esercizio 2
• Esercizio 22 - antimmagine di [0,+∞) con radici — esercizio 3
• Esercizio 23 - equazione esponenziale con modulo — esercizio 4
• Esercizio 24 - disequazione con il coseno iperbolico — esercizio 5
• (L'esercizio 1 del foglio è nella lezione 9: Esercizio 20 - esponenziali e logaritmi in base e.)

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