Lezione 9 — Potenze, esponenziale e logaritmo

Data: lunedì 13 ottobre 2025 · Capitolo 2: Funzioni elementari · Videolezione: n. 10 della playlist ("Lezione 9", 1h51)

Argomenti trattati

1. Potenze $x^\alpha$: esponente naturale; teorema di esistenza della radice $n$-esima e funzione $\sqrt[n]{x}$ ($n$ pari e dispari); esponente intero negativo $\frac{1}{x^n}$ (con la regola sulla monotonia di $\frac1f$); esponente razionale $x^{m/n}$ (domini) e irrazionale; grafici per $\alpha < 0$, $0 < \alpha < 1$, $\alpha > 1$.
2. Esercizi: $x^{2/3} \ge a$ e $x^{5/3} < a$ (errore frequente con le potenze pari); principio "$A \le B \iff f(A) \le f(B)$ se $f$ è strettamente crescente"; disequazioni con radici cubiche e quadrate, schemi per $\sqrt{A} \le B$ e $B \le \sqrt{A}$.
3. Proprietà delle potenze (solo con base positiva!), monotonia rispetto all'esponente; $x^{3/2}$ e $x^{6/4}$ sono funzioni diverse.
4. Esponenziale $a^x$: definizione, monotonia, teorema di esistenza del logaritmo, grafici.
5. Logaritmo come inversa dell'esponenziale; proprietà (dimostrazione di $\log_a x + \log_a y = \log_a(xy)$), cambiamento di base.
6. Primo esercizio del nuovo foglio: $2^x$ e $\log_{1/2}(x+1)$ in base $e$.

Teoria

• Funzioni potenzaLe potenze x^alfa al variare dell'esponente: domini, grafici, radici n-esime e proprietà delle potenze con base positiva.Funzioni potenza →
• Disequazioni con potenze e radiciSi può applicare ai due membri di una disequazione una funzione strettamente monotona; con le radici di indice pari servono le condizioni sui segni.Disequazioni con potenze e radici →
• Esponenziale e logaritmoLa funzione esponenziale a^x (base positiva diversa da 1) e la sua inversa, il logaritmo in base a, con grafici e proprietà.Esponenziale e logaritmo →

Esercizi

• Esercizio 18 - potenze x^(2/3) e x^(5/3) — esercizi 1 e 2 della lezione
• Esercizio 19 - disequazioni con le radici — esercizio 3 della lezione
• Esercizio 20 - esponenziali e logaritmi in base e — esercizio 1 del foglio

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