Metodo: max, min, inf, sup di un insieme

Questa è la procedura da seguire ogni volta che un esercizio chiede "determinare, se esistono, minimo, massimo, estremo inferiore ed estremo superiore di $E$". Esempi svolti: Esercizio 2 - max min inf sup di (n+2)/n e Esercizio 3 - max min inf sup di (-1)^n n + 1/n. Le definizioni sono in Estremo superiore (sup)Maggioranti e minoranti, massimo e minimo, estremo superiore (il più piccolo dei maggioranti) e inferiore, con la caratterizzazione con epsilon.Estremo superiore (sup) →.

Prima di tutto: cosa si chiede

Per ciascuno dei quattro oggetti bisogna rispondere in due parti:

1. Esiste? (sì / no)
2. Se esiste, quanto vale? E in ogni caso va dimostrato.

Ricorda le relazioni tra i quattro:

• Se il $\max$ esiste, allora $\sup = \max$.
• Se il $\min$ esiste, allora $\inf = \min$.
• Il sup può esistere senza che esista il max (succede quando il sup non appartiene all'insieme).
• Il sup è $+\infty$ quando l'insieme non è limitato superiormente; l'inf è $-\infty$ quando non è limitato inferiormente.

I passi

Passo 0 — Leggere bene il testo. Capire chi è $n$ (da dove parte: $\mathbb{N}$ include lo $0$!), perché c'è la condizione $n \ne 0$ (di solito c'è una divisione), e cosa significa ogni simbolo.

Passo 1 — Semplificare l'espressione. Riscrivere la formula in una forma in cui si vede cosa succede (spezzare una frazione, separare pari e dispari se c'è $(-1)^n$, ecc.).

Passo 2 — Tabella di valori. Calcolare i primi termini ($n = 1, 2, 3, \dots$) e qualche valore grande ($n = 100, 1000$) per vedere se i valori crescono, decrescono, alternano, si avvicinano a un numero o vanno all'infinito.

Passo 3 — Congettura. Scrivere cosa ci aspettiamo: candidato max, candidato min, candidato inf/sup. Capire se il candidato appartiene all'insieme (allora è max/min) o no (allora è solo sup/inf).

Passo 4 — Dimostrare. Ogni affermazione richiede la sua dimostrazione (vedi sotto).

Passo 5 — Tabella riassuntiva con i quattro risultati.

Come si dimostra ogni affermazione

"$M$ è il massimo"

Due verifiche:

1. $M \in E$: mostrare un $n$ (o un elemento) che dà proprio $M$.
2. $M$ è un maggiorante: dimostrare che $x \le M$ per ogni $x \in E$, con disuguaglianze giustificate.

Poi: $\sup E = M$ (perché il max esiste).

"$m$ è il minimo"

Come sopra: $m \in E$ e $x \ge m$ per ogni $x \in E$. Poi $\inf E = m$.

"$L$ è l'inf" (quando $L \notin E$, o in generale)

1. $L$ è un minorante: $x \ge L$ per ogni $x \in E$.
2. Per ogni $\varepsilon > 0$ esiste $x \in E$ con $x < L + \varepsilon$.

Come si fa il punto 2 in pratica: si traduce $x_n < L + \varepsilon$ in una disuguaglianza su $n$ (di solito $n > \text{qualcosa}$ che dipende da $\varepsilon$) e si usa l'Archimedeità di NPer ogni numero reale esiste un naturale più grande: serve a trovare n con 1/n più piccolo di qualunque epsilon.Archimedeità di N → per dire che un tale $n$ esiste.

"$S$ è il sup" (quando $S \notin E$, o in generale)

1. $S$ è un maggiorante: $x \le S$ per ogni $x \in E$.
2. Per ogni $\varepsilon > 0$ esiste $x \in E$ con $x > S - \varepsilon$.

"Il minimo (o il massimo) non esiste"

Due strade equivalenti:

• Se l'inf esiste ed è $L$, e $L \notin E$, allora il minimo non esiste (perché se esistesse sarebbe uguale all'inf, quindi $L \in E$).
• Per assurdo: supporre che $m$ sia il minimo e trovare un elemento di $E$ più piccolo di $m$.

"$E$ non è limitato superiormente / inferiormente"

Fissare un $M$ arbitrario e costruire un elemento di $E$ più grande (più piccolo) di $M$. Vedi il passo 4 e 5 dell'esercizio 3.

Regole sulle disuguaglianze (da ricordare in ogni passaggio)

Errori tipici

• Confondere "si avvicina a $L$" con "è uguale a $L$" (quindi dire min/max quando c'è solo inf/sup).
• Dare solo esempi numerici invece di una dimostrazione per ogni $n$ o ogni $\varepsilon$.
• Dimenticare di controllare l'appartenenza all'insieme.
• Sbagliare il verso di una disuguaglianza moltiplicando per un numero negativo.