Lezione 8 — Funzioni limitate, monotone, pari e dispari

Data: venerdì 10 ottobre 2025 · Capitolo 2: Funzioni di una variabile reale · Videolezione: n. 9 della playlist ("Lezione 8", 1h37)

Argomenti trattati

1. Funzioni limitate; inf, sup, min, max di $f$: definizioni tramite l'immagine $f(X)$, lettura sul grafico, caratterizzazioni; valori di massimo/minimo (unici) e punti di massimo/minimo (anche infiniti), esempio $\sin x$.
2. Monotonia: funzioni crescenti, decrescenti, strettamente monotone; esempi $mx + q$ (lineare/affine) e parte intera $[x]$.
3. Teorema: una funzione strettamente monotona è iniettiva e la sua inversa ha la stessa monotonia (con dimostrazione); il viceversa è falso (controesempio a tratti con $\frac1x$ e $x$).
4. Simmetrie: dominio simmetrico, funzioni pari e dispari, grafici; esempi $x^n$ ed $e^{3x^2 + 5|x|}$.
5. Inizio delle funzioni elementari: potenze $x^\alpha$, caso $x^n$ con $n \in \mathbb{N}^*$.

Teoria

• Funzioni limitate, sup, inf, max e minUna funzione è limitata, ha sup, inf, massimo o minimo quando li ha la sua immagine; valori e punti di massimo e minimo.Funzioni limitate, sup, inf, max e min →
• Funzioni monotone, pari e dispariFunzioni crescenti e decrescenti, legame tra stretta monotonia e iniettività, e simmetrie delle funzioni pari e dispari.Funzioni monotone, pari e dispari →
• Funzioni potenzaLe potenze x^alfa al variare dell'esponente: domini, grafici, radici n-esime e proprietà delle potenze con base positiva.Funzioni potenza → — sezione 1 (esponente naturale)

Esercizi

In questa lezione non ci sono esercizi svolti a parte: gli esempi sono dentro le note di teoria.

Lezione precedente: Lezione 07 - Immagine, iniettività, inversa e composizione · Lezione successiva: Lezione 09 - Potenze, esponenziale e logaritmo