Lezione 7 — Immagine, iniettività, inversa e composizione

Data: giovedì 9 ottobre 2025 · Capitolo 2: Funzioni di una variabile reale · Videolezione: n. 8 della playlist ("Lezione 7", 1h39); c'è anche il n. 7 ("Lezione 7 pt2 – video esercizi rimasti", 53 min)

Argomenti trattati

1. Immagine e antimmagine di un insieme tramite $f$; esempio con $f(x) = 2x$ risolto analiticamente e con il grafico (immagine = proiezione sull'asse $y$, antimmagine = proiezione sull'asse $x$).
2. Metodo grafico per equazioni e disequazioni: $f^{\leftarrow}([a, b])$, $f^{\leftarrow}([a, +\infty))$, $f^{\leftarrow}((-\infty, a])$, segno di $f$; esempio: le proprietà di $|x|$.
3. Iniettività: tre definizioni equivalenti, esempi $3x + 4$ (sì) e $1 - x^2$ (no), test delle rette orizzontali.
4. Inversa: inversa di una funzione iniettiva sull'immagine, caratterizzazione ($f^{-1}(f(x)) = x$ e $f(f^{-1}(y)) = y$), esempio $\sqrt{x - 1}$ e $x^2 + 1$; come si calcola l'inversa ($\frac13 x + 1$); il grafico dell'inversa è simmetrico rispetto a $y = x$.
5. Suriettività e biunivocità; una funzione è data insieme a dominio e codominio (esempio $x^2 + 1$).
6. Composizione: definizione, come si trova il dominio, esempio $\sqrt{x}$ e $x^2 - 1$; non è commutativa.
7. Operazioni tra funzioni reali (somma, prodotto, quoziente, modulo); inf, sup, max, min di una funzione.

Teoria

• Funzioni - definizione, dominio e graficoUna funzione associa a ogni elemento del dominio un solo valore: dominio naturale, grafico, immagine, antimmagine e metodo grafico.Funzioni - definizione, dominio e grafico → — immagine, antimmagine, metodo grafico, inf e sup di $f$
• Funzioni iniettive, suriettive e inverseIniettività (test delle rette orizzontali), suriettività, biunivocità e funzione inversa con il suo grafico simmetrico rispetto a y = x.Funzioni iniettive, suriettive e inverse → — iniettività, inversa, suriettività, biunivocità
• Composizione e operazioni tra funzioniLa composta g(f(x)) e come trovarne il dominio, più somma, prodotto e quoziente di funzioni.Composizione e operazioni tra funzioni → — composizione e suo dominio, operazioni

Esercizi

• Esercizio 16 - immagine e antimmagine di 2x — esempio 1 della lezione
• Esercizio 17 - verificare se una funzione è l'inversa di un'altra — $\sqrt{x-1}$ e $x^2 + 1$

Lezione precedente: Lezione 06 - Valore assoluto, esercizi e inizio delle funzioni · Lezione successiva: Lezione 08 - Funzioni limitate, monotone, pari e dispari