Esercizio 11

Testo (Lezione 3, esercizio 2 — disuguaglianza di Bernoulli, da ricordare). Fissato $x > -1$, dimostrare che

$$\forall n \in \mathbb{N} : \quad (1 + x)^n \ge 1 + nx$$

Passo 0: capire il testo

La dimostreremo con il principio di induzioneSe $p(n_0)$ è vera e da $p(n)$ segue sempre $p(n+1)$, allora $p(n)$ vale per ogni $n \ge n_0$.Principio di induzione →. Conviene ricordarla: servirà più avanti (per esempio con i limiti di successioni).

• $x$ è un numero reale fissato, con l'unica condizione $x > -1$, cioè $1 + x > 0$Sommando $1$ a entrambi i membri di $x > -1$ il verso non cambia e si ottiene $1 + x > 0$.Campi ordinati (Q e R) →. Non dipende da $n$.
• L'affermazione deve valere per ogni $n \in \mathbb{N}$$n$ è un numero naturale; in questo corso i naturali partono da $0$.Insiemi numerici (N, Z, Q, R) →, quindi a partire da $n_0 = 0$.
• Si chiama $p(n)$: "$(1+x)^n \ge 1 + nx$".

Proviamo qualche caso per capire cosa dice. Con $x = 0{,}5$: $(1{,}5)^n$ contro $1 + 0{,}5n$.

La potenza cresce più in fretta della retta $1 + nx$. In parole: una potenza $(1+x)^n$ sta sempre sopra la sua "approssimazione lineareLa retta $1 + nx$ che, per $x$ vicino a $0$, ha quasi gli stessi valori della potenza $(1+x)^n$." $1 + nx$.

Passo 1: passo base, $p(0)$

$p(0)$: $(1 + x)^0 \ge 1 + 0 \cdot x$. A sinistra $(1+x)^0 = 1$ (potenza zero di un numero non nulloOgni numero diverso da $0$ elevato a $0$ vale $1$.Funzioni potenza →: $1 + x > 0$), a destra $1 + 0 = 1$. Quindi $1 \ge 1$: vero ✓.

Passo 2: passo induttivo, $p(n) \Rightarrow p(n+1)$

Fissiamo $n \in \mathbb{N}$ generico.

Ipotesi induttivaSi suppone vera $p(n)$ per l'$n$ fissato e la si usa per dedurre $p(n+1)$.Principio di induzione →: $(1 + x)^n \ge 1 + nx$.

Tesi: $(1 + x)^{n+1} \ge 1 + (n+1)x$.

Scrivere $p(n+1)$ usando $p(n)$. La potenza $(n+1)$-esima è la potenza $n$-esima moltiplicata ancora una volta per la base$a^{n+1} = a \cdot a^n$, caso particolare di $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.Funzioni potenza →:

$$(1 + x)^{n+1} = (1 + x) \cdot (1 + x)^n$$

Usiamo l'ipotesi induttiva. Sappiamo che $(1+x)^n \ge 1 + nx$. Moltiplichiamo entrambi i membri per $(1 + x)$:

$$(1 + x) \cdot (1 + x)^n \ \ge \ (1 + x)(1 + nx)$$

Qui serve l'ipotesi $x > -1$. Moltiplicare una disuguaglianza per un numero conserva il versoSe $a \ge b$ e $c > 0$ allora $ac \ge bc$; se invece $c < 0$ il verso si inverte.Campi ordinati (Q e R) → solo se il numero è positivo. E $1 + x > 0$ proprio perché $x > -1$. Senza questa ipotesi il passaggio sarebbe sbagliato.

Sviluppiamo il prodottoProprietà distributiva: si moltiplica ogni termine del primo fattore per ogni termine del secondo e si sommano i risultati.Campi ordinati (Q e R) → a destra:

$$(1 + x)(1 + nx) = 1 + nx + x + nx^2 = 1 + (n+1)x + nx^2$$

Togliamo il termine in più. $nx^2 \ge 0$ perché $n \ge 0$ e $x^2 \ge 0$ (un quadrato non è mai negativoIn un campo ordinato $x^2 \ge 0$ per ogni $x$: il prodotto di due numeri con lo stesso segno non è negativo.Campi ordinati (Q e R) →). Togliere una quantità $\ge 0$ rende il numero più piccolo o uguale:

$$1 + (n+1)x + nx^2 \ \ge \ 1 + (n+1)x$$

Mettiamo in fila i passaggi:

$$(1 + x)^{n+1} = (1+x)(1+x)^n \ \ge \ (1 + x)(1 + nx) = 1 + (n+1)x + nx^2 \ \ge \ 1 + (n+1)x$$

Il primo e l'ultimo membro danno la tesi ✓.

Conclusione

Per il principio di induzionePer dimostrare una proprietà per ogni n basta il passo base e il passo induttivo da n a n+1.Principio di induzione →, $(1 + x)^n \ge 1 + nx$ per ogni $n \in \mathbb{N}$ e ogni $x > -1$ fissato ∎.

Osservazioni

• Dove si usa ogni ipotesi: $x > -1$ nel moltiplicare la disuguaglianza per $1 + x$; $n \ge 0$ e $x^2 \ge 0$ per dire $nx^2 \ge 0$; l'ipotesi induttiva nel primo "$\ge$".
• Quando vale l'uguaglianza: per $n = 0$, per $n = 1$ ($1 + x = 1 + x$), oppure per $x = 0$. Per $n \ge 2$ e $x \ne 0$ la disuguaglianza è strettaVale con $>$ invece di $\ge$: i due membri non possono essere uguali. (perché $nx^2 > 0$).
• Per $x \ge 0$ si può anche dedurre dal Binomio di NewtonSviluppo di $(a+b)^n$ come somma di termini $\binom{n}{k} a^k b^{n-k}$; con $a = x$ e $b = 1$ i primi due termini sono $1 + nx$.Binomio di Newton →: $(1+x)^n = 1 + nx + (\text{termini} \ge 0)$. Ma l'induzione funziona anche per $-1 < x < 0$, dove il binomio darebbe termini di segno alterno.
• Esempio con $x$ negativo: $x = -0{,}5$, $n = 2$: $(0{,}5)^2 = 0{,}25 \ge 1 - 1 = 0$ ✓.

Errori comuni

• Moltiplicare per $1 + x$ senza dire che è positivo. È il punto delicato della dimostrazione.
• Fermarsi a $1 + (n+1)x + nx^2$ senza spiegare perché si può togliere $nx^2$.
• Partire da $n_0 = 1$: il testo dice $n \in \mathbb{N}$, che comprende $0$ (il passo baseLa verifica diretta dell'affermazione nel primo valore richiesto; da lì il passo induttivo la propaga a tutti gli $n$ successivi.Principio di induzione → va fatto per $n = 0$; non è sbagliato verificare anche $n = 1$, ma non basta come unico passo base).